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\require{physics}
abstract
本文讨论了林德布拉德方程在一个特殊情况下的推导,给出了一个直观的印象,指出 Markov 近似是林德布拉德算符的前提条件。 严格的推导需要量子动力学半群,并且需要考虑环境和温度,这里不作讨论。
1. Introduction
定义超算符,就是在一个算符两侧作用一对相互共轭的算符。
定义混合态的密度算符:
\rho(t) = \sum_{i} p_i \rho_i(t)
注意到,混合态不是纠缠态,各个纯态之间是独立演化的,所以概率分布是不含时,由系统完全决定的。 由此可以推导得到刘维尔(Liouvile)方程:
\dv{\rho(t)}{t} = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho(t)]
在这个基础上,可以扩展得到林德布拉德(Lindblad)方程:
\dv{\rho(t)}{t} = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho(t)]
+ \sum_{i} \qty( L_i \rho(t) L_i^\dagger - \frac{1}{2} \qty{L_i^\dagger L_i, \rho(t)} )
其中 L_i
是林德布拉德算符,它用于描述体系受到的扰动的效果。
可以证明,最多只需要取 N^2 - 1
个算符就可以描述所有的扰动的自由度,其中 N
是纯态波函数所在希尔伯特空间的维度。
2. Lindblad examples
这里使用的不是国际单位制,因此会有一些常数上的差别。 全部假定 $H = 0$,并且前四个例子都只考虑二维空间中的情况。
2.1. Random phases
考虑两个纯态组成的混合态,它们的相位会随着时间随机游走,