book/quantum information/Simple derivation of the Lindblad equation.md

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# abstract

本文讨论了林德布拉德方程在一个特殊情况下的推导，给出了一个直观的印象，指出 Markov 近似是林德布拉德算符的前提条件。
严格的推导需要量子动力学半群，并且需要考虑环境和温度，这里不作讨论。

# 1. Introduction

定义超算符，就是在一个算符两侧作用一对相互共轭的算符。

定义混合态的密度算符：

$$
\rho(t) = \sum_{i} p_i \rho_i(t)
$$

注意到，混合态不是纠缠态，各个纯态之间是独立演化的，所以概率分布是不含时，由系统完全决定的。
由此可以推导得到刘维尔（Liouvile）方程：

$$
\dv{\rho(t)}{t} = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho(t)]
$$

在这个基础上，可以扩展得到林德布拉德（Lindblad）方程：

$$
  \dv{\rho(t)}{t} = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho(t)]
    + \sum_{i} \qty( L_i \rho(t) L_i^\dagger - \frac{1}{2} \qty{L_i^\dagger L_i, \rho(t)} )
$$

其中 $L_i$ 是林德布拉德算符，它用于描述体系受到的扰动的效果。
可以证明，最多只需要取 $N^2 - 1$ 个算符就可以描述所有的扰动的自由度，其中 $N$ 是纯态波函数所在希尔伯特空间的维度。

# 2. Lindblad examples

这里使用的不是国际单位制，因此会有一些常数上的差别。
全部假定 $H = 0$，并且前四个例子都只考虑二维空间中的情况。

## 2.1. Random phases

考虑两个纯态组成的混合态，它们的相位会随着时间随机游走，