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# The Quantum Theory of Radiation

这本书可能是因为年代久远，一些定义与我们的不同。

* $\nu$ 直接表示圆频率而不是频率，即为我们的 $2\pi\nu$。
* $k$ 的大小为一个光子的能量而不是我们的波矢，即为我们的 $\hbar ck$

## I. Classical Theory of Radiation

### 1. The General maxwell-Lorentz Theory

#### 1. Field Equations

没有什么新奇的东西，就是介绍了一下麦克斯韦方程组。

$$
				
$$

注意这里并没有讨论任何的电介质，也就是这里的 $H$ 只是 $B$ 的一种方便的写法，定义是：
$$
    H = \frac{1}{\mu_0} B
$$


#### 2. Potentials

引入了矢势和标势。

​	矢势的旋度有公认的定义，但散度有不同的规范。除此以外还差一个常数，但这个常数无关紧要，因为（至少到目前为止），所有使用矢势的地方都是用的它的导数。

标势的定义是公认的，在静电场中，它与通常的电势一致。它也有一个不确定的常数，基于同样的理由，这个常数无关紧要。

公认的是：
$$
H = \nabla\times A \\
E + \frac1c \pdv{A}{t} = - \nabla \varphi
$$
洛仑兹规范是指：
$$
\nabla\cdot A + \frac1c \pdv{\varphi}{t} = 0
$$
基于此规范，麦克斯韦方程组中的场量（$E$ 和 $H$）可以被完全抛弃掉，麦克斯韦方程组完全等价于：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{c^2}\pdv[2]{A}{t} - \nabla^2 A &= \frac{4\pi}{c} \rho v \\
\frac{1}{c^2}\pdv[2]{\varphi}{t} - \nabla^2 \varphi &= 4\pi \rho
\end{aligned}
$$

注意这时，$A$ 和 $\varphi$ 仍然没有完全确定，也就是其中仍然包含过多的信息（除了上述的常量）。具体来说，这个过多的信息是：任取一个标量场，使得它满足：
$$
\nabla^2\chi -\frac{1}{c^2}\pdv[2]{\chi}{t}=0
$$
那么，将 $A$ 替换为 $A + \nabla\chi$，$\varphi$ 替换为 $\varphi - \frac{1}{c}\pdv{\chi}{t}$，得到的结果依然是等价的。

如果使用库伦规范：
$$
\nabla \cdot A = 0
$$
那么，麦克斯韦方程组中的场量也可以完全抛弃，但得到的式子不对称：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{c^2}\pdv[2]{A}{t} - \nabla^2 A + \frac1c \nabla \pdv{\varphi}{t} &= \frac{4\pi}{c} \rho v \\
\nabla^2 \varphi &= -4\pi \rho
\end{aligned}
$$

可以看到，在这种情况下，标势完全是静电势（哪怕实际上不是静电场）。

之后用得比较多的是洛仑兹规范。

#### 3. Retarded potentials

介绍了延迟势的概念。即：如果认为所有的电磁场追根究底都是由于电荷引起的，那么某一个位置上的势，由其它位置、一段时间之前的电荷密度（或电流密度）决定，具体多久时间之前取决于两点之间距离。这个结果就是之前麦克斯韦方程组的解。

具体来说，在库伦规范下，可以推导得到：
$$
\varphi(r) = \int \frac{\rho(r')}{|r - r'|} \dd{r'}
$$

在洛伦兹规范下，可以推导得到：
$$
\begin{aligned}
\varphi(r, t) &= \int \frac{\rho(r', t - |r - r'|/c)}{|r - r'|} \dd{r'} \\
A(r) &= \frac1c \int \frac{(\rho v)(r', t - |r - r'|/c)}{|r - r'|} \dd{r'}
\end{aligned}
$$

由这两个结果，加上洛仑兹规范的定义，原则上就可以解出所有的电磁场。

#### 4. Energy and momentum balance

接下来提到“动量”时，实际指的都是动量乘以光速，这个量具有能量的单位，比较容易处理。

接下来它推导了电磁场的能量，以及在电磁场中粒子的运动（假定它只受电磁力）。推导结果与绝大多数教科书一致，即假定电磁场能量为 $E\times H$，也即将被影响的微观粒子的动能也计入电磁场的能量。

### 2. Lorentz invariance, momentum, and energy of the field

#### 1. Lorentz transformations

定义四维坐标，前三个维度就是空间坐标，第四个维度是 $ict$。把四维坐标记为 $x$。

这里还讨论了，如果一个函数或者张量在洛仑兹变换下不变，那么它们需要具有什么样的性质。

#### 2. Invariance of the Maxwell equations

在使用洛仑兹规范时，可以将麦克斯韦方程组写成一个方程（通过将三维的向量和张量都补全成四维），这个方程在洛伦兹变换下保持不变。具体来说，包括：

* 将电荷密度和电流密度组装成一个四维向量 $i$，第四个维度是 $ic\rho$。

* 将矢势和标势组装成一个四维向量，第四个维度是 $i\varphi$。这时洛仑兹规范写为：
  $$
  \sum_\mu \pdv{A_\mu}{x_\mu} = 0
  $$
  麦克斯韦方程组写为：
  $$
  \nabla^2 A = -\frac{4\pi}{c}i
  $$
  
* 将电磁场写为一个反对称张量：
  $$
  f =
  \begin{pmatrix}
  0 & H_z & -H_y & -iE_x \\
  -H_z & 0 & H_x & -iE_y \\
  H_y & -H_x & 0 & -iE_z \\
  iE_x & iE_y & iE_z & 0
  \end{pmatrix}
  $$
  麦克斯韦方程组也有对应的写法。

#### 3. The lorentz force. Momentum and energy of a particle

考虑带电物质在电磁场中的受力。按照通常的想法定义力密度 $k$，可以知道：
$$
k = \rho E+\frac1c \rho v\cdot H
$$
这里 $k$ 是三维的向量。把它的第四个维度补上：
$$
k_4 = \frac{i}{c}\rho E\cdot v
$$

考虑一个粒子（或者说，一团带电物质）的机械动量（乘以 $c$，作为前三个维度）和动能（乘以 $i$，作为第四个维度），可以得到：
$$
c\int k_1 \dd r \dd t = u_1 = cp_x \\
c\int k_4 \dd r \dd t = u_4 = iT
$$
向量 $u$ 被称为粒子的四维速度。可以检验，洛仑兹变换只改变这个向量的方向，不改变这个向量的“长度的平方”（自己与自己的“内积”，这里“内积”按照表面来计算，允许出现负数），并将这个向量的“长度的平方”的相反数定义为 $u^2$，$u^2$ 在洛仑兹变换下保持不变：
$$
u^2 = T^2 - (u_x^2 + u_y^2 + u_z^2)
$$
考虑粒子静止时（也就是拿它自己作为参考系时）的能量，可以得到：$u^2=mc^2$。这里 $m$ 指的是静止质量。

再定义一个四维向量 $p$（与上面的 $p_x$ 不同，它不是机械动量）：	
$$
p = u + eA
$$
这里的 $p$ 的前三个维度指的是总动量（当然，乘以了一个 $c$），最后一个维度指的是总能量（乘以 $i$）。

TODO: 为什么？

这个向量被称为动量-能量向量。它满足：
$$
\sum_\mu (p_\mu - eA_\mu)^2 = -u^2
$$
若将第四个维度（能量）拆分出来，就可以得到：
$$
\sum_\mu(p_\mu-eA_\mu)^2-(E-e\varphi)^2=-u^2
$$
也就是：
$$
E=e\varphi+\sqrt{\sum_\mu(p_\mu-eA_\mu)^2+u^2}
$$

#### 4. Non-electromagnetic nature of the inertial mass

#### 5. 'Particle properties' of light waves

### 3. Field of a point charge and emission of light

#### 1. The Wiechert potentials.

对于运动的点电荷，它导致的势场不再是 $1/r$ 的简单形式。
它同时会给出一个电标势和一个磁矢势。
这个章节详细推导了这个过程。
这个推导过程会用到之前洛仑兹变换相关的理论。

#### 2. Field strengths of an arbitrarily moving point charge

尽管可以由势求导得到场，但需要考虑两个参考系之间的洛伦兹变换（一些变量是在另一个参考系里），所以导致求得的结果很复杂。

#### 3. The Hertzian vector of a system of charges. Dipole and quadripole moment

这里推导了距离观察点很远处的电荷运动引起的电磁场，其中前几项分别是电偶极子、电四极子、磁偶极子的贡献。

在推导的过程中，不拘泥于电荷具体是如何运动的（只要运动范围远远小于到观察点的距离就行）。
运动方式抽象成一个函数，叫 $Z$。
将具体的运动代入就可以解出具体情况下的场。

#### 4. Emission of light

没什么特殊的。

### 4. Reaction of the field, line breadth

运动（指加速度不为零）的带电粒子会辐射能量，导致它运动得越来越慢（指幅度减小等，不是仅指速度减小）。
为了考虑这个过程，我们有两个方法。第一种方法分为两步：
1. 假定不损失能量（运动不减慢），计算它的运动导致的场。
2. 计算它受到自己产生的电磁场的作用，这个作用会导致它运动逐渐减慢。
第二种方法则是直接一步计算出结果。
第二种方法除了给出这个结果，还会给出其它的有用结果。

#### 1. First way: the energy balance

使用能量守恒（辐射出去的能量等于受到的阻力）来计算。
结论是：受到的阻力与电荷量的平方成正比，与加速度成正比。

#### 2. Second way: the self-force

先按照在一个空间内分布有一些电荷来计算，最后再将这些电荷集中到一个点上取极限。
可以看到，最低阶的近似与第一种方法的结果一致，并且与电荷如何分布的无关；
  更高阶的近似则与电荷如何分布的有关，且当电荷分布在一个点上时，这个结果会消失。

当考虑到相对论效应时（如果电荷运动得很快），得到的结果会有一些不同。

#### 3. Self-energy

这里讨论了粒子自身的质量是否可能全部是由电磁力导致的，结论是否定的，也就是纯粹的电荷系统不能保持稳定。

#### 4. Line breadth

按照以上理论，谐振子将不会永远振动下去，它发射的光谱线会有一定的宽度。
这个宽度是 $\gamma/2$，$\gamma$ 就是那个阻尼系数。

### 5. Scattering, absorption

#### 1. Scattering by free electrons

这里推导了单个电子造成的散射。
在波长不太小（远大于电子半径）的情况下，各个方向的散射光的强度的总和与入射光的频率无关，
  只与入射光的强度和测试点距离电子的距离有关（成正比并且比例系数是一个常数）。
这里的

#### 2. Scattering by an oscillator

可以得到：如果谐振子的频率与入射光频率相差很远，那么散射强度将较小，进一步如果谐振子频率很低，结果和自由电子接近；
  如果谐振子频率与入射光很接近，散射将很强。

#### 3. Absorption

可以得到：在远离共振频率时，吸收强度与频率无关，并且吸收较小；
  在接近共振频率时，吸收强度很大，并且与时间、入射强度成正比。

### 6. The field as a superposition of plane waves. Hamiltonian form of the field equations

将电磁理论使用哈密顿力学表出。

#### 1. The pure radiation field

假定要研究的空间中没有电荷也没有电流，那么就有：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{c^2}\pdv[2]{A}{t} - \nabla^2 A &= 0 \\
\frac{1}{c^2}\pdv[2]{\varphi}{t} - \nabla^2 \varphi &= 0
\end{aligned}
$$

取 $\chi = \varphi ct$，带入替换，就可以得到 $\varphi = 0$，也就是电磁场将由 $A$ 完全决定（通过第一个式子和洛仑兹规范），即：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{c^2}\pdv[2]{A}{t} - \nabla^2 A &= 0 \\
\nabla \cdot A &= 0
\end{aligned}
$$

注意到方程是线性的。将 $A$ 分解到一系列正交归一（指箱归一化）的基上，并取定基不随时间变化、系数不随空间变化。这里的基可以取为稍后导出的哈密顿量的本征态，也可以是别的，只要是一系列正交归一的矢量就可以了。
$$
A = \sum_\lambda q_\lambda(t)A_\lambda(r)
$$
这里的归一是指：
$$
\int(A_\lambda\cdot A_\mu)\dd r = 4\pi c^2\delta_{\lambda\mu}
$$
并定义 $v_\lambda$ 使得：
$$
\pdv[2]{q_\lambda}{t}+v_\lambda^2q_\lambda=0
$$
那么就有：
$$
\begin{aligned}
\nabla^2 A_\lambda+\frac{v_\lambda^2}{c^2}A_\lambda &= 0 \\
\nabla \cdot A_\lambda &= 0
\end{aligned}
$$
电磁场能量：
$$
U=\frac{1}{8\pi}\int(E^2+H^2)\dd{r}
$$
容易算出对应 $q_\lambda A_\lambda$ 的能量是：
$$
U_\lambda =\frac12\left((\pdv{q_\lambda}{t})^2+v_\lambda^2q_\lambda^2\right)
$$
由于正交，由 $A_\lambda$ 导出的电磁场也是正交的，这导致总能量也是其的叠加。

在相当多的情况下，我们使用的电磁场都是三角函数，并因此经常将电磁场写成复数的形式，其中的实部对应于实际的物理量，虚部仅仅为了方便计算而存在。

在经典哈密顿力学看来，直接引入复数会导致广义坐标和动量变得不正则（不是实数），也即导致哈密顿方程不再成立；需要略微修改结果才行。这些细节没有必要再讨论。

#### 2. Hamiltonian of a particle

使用之前的推导，可以得知粒子的哈密顿量为：
$$
E=e\varphi+\sqrt{\sum_\mu(p_\mu-eA_\mu)^2+u^2}, u^2=mc^2
$$
其中 $A_\mu$ 指粒子所在位置的三维的矢势，$m$ 指粒子的静止质量，$p_\mu$ 指粒子的总动量（不仅仅是机械动量）。

#### 3. General system of particles and field.

## II. Quantum Theory of the Pure Radiation Field

TODO: 只读了 7。

### 7. Quantization of the radiation field

#### 1. Introduction

没有什么稀奇的。

#### 2. Quantization of the pure radiation field

将矢势拆分成一系列的平面波，量子的不连续性体现在平面波前面的系数上不能取任意值，而只能是某个值的整数倍。

#### 3. The state vector of the radiation field.

除了海森堡图景和薛定谔图景，常用的还有一个叫“相互作用绘景”，这时时间导致的影响一部分被归结到态矢量上、一部分被归结到算符上。对于只辐射的情况来说，相互作用绘景与海森堡绘景是一样的。具体来说：

* 薛定谔绘景中，态矢量上面随时间演化的相位，在相互作用绘景中被归结到算符上（就像海森堡绘景那样）
* 态矢量上面的时间呢？还没有讨论到。

## III. The Electron Field and its Interaction with Radiation

### 11. The relativistic wave

#### 1. Dirac's equation

### 19. Dispersion and Raman effect

在这一节中，我们考虑一个原子造成的散射。
散射可能是瑞丽散射（散射前后原子状态相同），也可能是拉曼散射（散射前后原子状态不同）。
考虑入射光子能量比原子振动的能量相近还是大得多，大得多的情况下，电子可以作为自由电子考虑，这会在第 22 节中详细讨论，这里只讨论差不多的情况。
TODO: 这是什么意思？

这样的光大约是