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# abstract
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半导体中可控、半独立少能级系统由于广泛的纳米传感和量子技术应用而受到多学科的关注。
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定量地描述这些系统的动力学行为是一个有挑战的理论问题，需要同时仔细考虑少能级系统本身和其周围环境的环境。
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本文展示了描述附近环境（包括核自旋和电子自旋组成的溶液浴）对自旋过程的影响的方法。
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这个方法在中心自旋系统的集群近似框架下使用了一个扩展的 Lindblad 方程。
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我们证明这个方法可以准确地描述出一个用于示例的固态点缺陷量子比特系统（即金刚石中 NV 缺陷在不同的磁场和应变下）的 $T_1$。
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# INTRODUCTION
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可控制的固态自旋系统在过去几十年间吸引了许多研究者的关注。
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在这之中，基于点缺陷的应用允许完全控制一组电子和核自旋，是这些研究中的一个部分。
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NV 缺陷是一个磁光活性电子自旋系统，可以在很大程度上从系统中隔离出来。
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NV 的电子自旋三重态可以通过光激发的三重态和亚稳定的单重态来初始化。
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同样的过程还可以导致基于自旋的光学退化，可以用于高保真度的读出。
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自旋相干时间可以超过一毫秒，量子比特的操作温度可以达到 600 K。
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这些性质使得 NV 有望应用在量子技术应用中，尤其是量子传感和量子信息处理。
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除了 NV，其它半导体中也有一些点缺陷。
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环境中的自旋（例如点缺陷的自旋和核自旋）对自旋系统的弛豫和退相干影响很大，通常来说是量子技术应用的主要限制因素。
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由于环境中自旋内部能级结构的复杂性，退化的过程经常依赖于外部的控制参数，例如磁场、电场、微波。
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在强量子比特环境耦合的情况下，激发态点缺陷量子比特系统可以作为高效自旋极化源被用于超极化应用，
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用于增强磁共振的敏感度或者用于冷却环境中的自旋来降低磁场的噪声。
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对于将来的应用，进一步理解和数值模拟在一系列环境条件影响下的去相干、自旋弛豫、极化转移等现象是非常重要的。
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Lindblad 主方程被用来描述 Markovian 退化过程，通常被用于描述这些动态过程。
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但这个方法依赖于一些实验测得的退化速率，忽略了环境中相互作用的复杂性，导致数值上精确度不高、预测的能力不足。
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为了解决这个问题，一些方法被提了出来。
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这些方法包括：量子团簇扩展，连接的团簇扩展，逐对核模型，分离的团簇模型，半经典磁场近似，环图近似，分析方法，自旋相干 P 表示法，团簇关联扩展，
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这些方法已经被用于计算点缺陷量子比特系统的 $T_2$ 和 $T_2^*$。
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NV 的温度依赖的自旋-声子耦合导致的自旋弛豫最近被通过解析和第一性原理计算的方法来描述。
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关于自旋浴导致的自旋弛豫过程的研究关注于强环境耦合的区域，动态核极化可以达到。
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在接下来，第二节会介绍理论和实现，第三节会展示一个例子中使用不同近似的效果，第四节会提供 NV 的模拟结果，第五节总结。
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# METHODOLOGY
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我们使用扩展的 Lindblad 方程来描述。我们将使用一下术语：
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* 我们将所有的系统都叫做自旋。自旋既被用于指代单个 building blocks，也被用于指代一个复杂的系统。
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* 我们假定自旋系统内部的相互作用强于自旋系统之间。
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* 使用两个耦合强度的差值来定义自旋。
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* 我们将改变密度矩阵对角元的行为称为自旋翻转过程。
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TODO: “耦合强度的差值来定义自旋”是指什么？
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## A. First-order cluster approximation
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我们要考虑的系统，包括了一个中心自旋和一些周围的自旋。
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我们使用 $s_0$ 来表示中心自旋，使用 $s_i$ 来表示周围的自旋，假定有 $n$ 个周围的自旋。
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使用 $d_i$ 来表示这些系统的希尔伯特空间维度。
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我们假定 $s_i$ 都只与 $s_0$ 有相互作用。系统的刘维尔方程可以写成：
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$$
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\dot{Q}_S = \frac{1}{i\hbar}[H_0, Q_S] + \varepsilon(Q_S)
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$$
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其中哈密顿量考虑了每个自旋的哈密顿量，以及每个自旋与中心自旋的相互作用：
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$$
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H_0 = h_0 + \sum_{i=1}^{n} (h_i + h_{0i})
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$$
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这个系统的维度会随着 $n$ 的增长而指数增长，还是太复杂，所以再使用一些方法来近似处理这个系统。
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我们使用 $C_N$ 来标记一个 $N$ 阶近似中所有的系统。
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$C_0$ 只包含各个 $s_i$ 自己的哈密顿量，$C_1$ 包含了 $s_0$ 和 $s_i$ 之间的相互作用。
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描述它们的方程分别是：
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\begin{aligned}
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\dot{Q}_{C_0} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_0}, Q_{C_0}] + \varepsilon(Q_{C_0}) \\
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\dot{Q}_{C_i} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_i}, Q_{C_i}] + \varepsilon(Q_{C_i})
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\end{aligned}
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$$
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其中
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$$
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\begin{aligned}
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h_{c_0} &= h_0 \\
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h_{c_i} &= h_0 + h_i + h_{0i}
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\end{aligned}
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$$
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这时，如果要关注每个自旋的行为，对于除了 $s_0$ 以外的每个自旋，将 $Q_{C_i}$ 中关于 $s_0$ 的项取迹即可；
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$$
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Q_{s_i} = \operatorname{Tr}_{s_0} Q_{C_i}
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$$
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对于 $s_0$，会得到 $N+1$ 个方程：
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$$
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\begin{aligned}
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\dot{Q}_{s_0} &= Q_{C_0} \\
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\dot{Q}_{s_0} &= \operatorname{Tr}_{s_i} \dot{Q}_{C_i}
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\end{aligned}
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$$
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接下来，我们首先会扩展哈密顿量来描述自旋系统之间的相互作用，使得随着时间，退化的密度矩阵的对角元素不变且改变能量的特征值。
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接下来，我们会增加 Lindbladian 项，这一项会导致自旋翻转，改变中心自旋的对角元素。
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### 1. Mean intra-spin-bath field
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实际上，之前所说的任何一个 $c_0$ 和 $c_i$ 系统，都一定会受到系统以外的自旋的影响。
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因此，我们在哈密顿量里加一项，来描述其它的（系统之外的）自旋对这个系统的影响。
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具体来说，就是将哈密顿量取为：
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$$
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\begin{aligned}
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\tilde h_{c_0} &= h_0 + \beta_0 \\
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\tilde h_{c_i} &= h_0 + \beta_i + h_i + h_{0i} \\
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\beta_0 &= \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \\
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\beta_i &= \sum_{j=1, j\neq i}^{n} (\alpha_j \otimes I_{d_i}) \\
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\alpha_i &= \operatorname{Tr}_i \left( h_{0i} \circ (I_{d_0} \otimes \operatorname{Tr}_0 \rho_{c_i}) \right)
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\end{aligned}
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TODO: 整理一下这里所有符号的含义，确定“平均”的含义。
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注意到:
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\operatorname{Tr}_i \beta_i + \alpha_i = \beta_0
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### 2. Extended Lindbladian
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主方程为：
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\dot{Q}_{c_i} = \frac{1}{i\hbar}[\tilde h_{c_i}, Q_{c_i}] + \mathcal{L}_{c_i}(Q_{c_i}) + \varepsilon_{c_i}(Q_{c_i})
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$$
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其中 Lindbladian 写为：
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$$
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\mathcal{L}_{c_i}(Q_{c_i}) = \sum_l \frac{\dot{b}_{il}}{\operatorname{Tr}(C_{il}^\dagger C_{il} Q_{c_i})}
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\left( C_{il} Q_{c_i} C_{il}^\dagger - \frac{1}{2} \left\{ C_{il}^\dagger C_{il}, Q_{c_i} \right\} \right)
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其中 l 下标最大取到 $d_0(d_0 - 1)$，Lindblad 算符的定义为：
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\begin{aligned}
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C_{0l} &= C_l = \left| m \right\rangle \left\langle n \right| \\
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C_{il} &= C_l \otimes I_{d_i}
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\end{aligned}
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$$
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TODO: 如此定义，是否正好描述了这两个态之间的转换？
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$b_{il}$ 表示自旋翻转的速率。
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TODO: 为什么？
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注意到分母：
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$$
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\operatorname{Tr}(C_{il}^\dagger C_{il} Q_{c_i}) = (Q_{s_0}^{c_i})_{nn}
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$$
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TODO: 这个是如何推导得到的？
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当这一项恰好为零时，我们定义整个分式为零（因为这时不会有自旋翻转）。
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