第 1 章量子态的描述

1.1 量子力学基本原理的回顾

如果取算符 F 的一系列本征态作为基矢表示所有的向量和算符，那么就称为 F 表象。

定义某个量子态（这里考虑的都是纯态）的密度算符（或者密度矩阵，如果已经取定了一个基的话）为：


\rho = \left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|

它本质上就是到 |\psi\rangle 的投影算符。

对于力学量 $G$，要计算它的期望值，可以用密度算符来简化计算（在 G 左右两边各插入一个单位矩阵，然后仔细推导即可得到）：


\left\langle \psi \right| G \left| \psi \right\rangle = \operatorname{tr}(G \rho) = \operatorname{tr}(\rho G)

波函数随时间发生改变（随时间演化），密度算符也会随时间演化。可以证明：


\frac{d}{dt} \rho = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho]

特别地，如果使用能量表象（即哈密顿算符的本征态作为基矢），那么可以知道密度矩阵的矩阵元随时间演化的规律为：


\frac{d}{dt} \rho_{mn}(t) = \rho_{mn}(0) \exp\left( \frac{t}{i\hbar} (E_m - E_n) \right)

也就是，对角元素不变，非对角元的相位一般会随时间改变。

在泡利表象（\sigma_z 表象）下，沿着空间中某个方向（按照通常的球坐标系定义 \theta 和 $\phi$）的自旋算符对应矩阵为：


\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta e^{-i\varphi} \\
\sin\theta e^{i\varphi} & -\cos\theta
\end{pmatrix}

定义混合态的密度矩阵为按照比例直接相加（这里的纯态不需要互相正交，甚至不需要互相线性无关）。它会保有一部分纯态的密度矩阵才有的性质。容易证明，相当多的情况下，混合态用于计算的时候，形式上也是纯态按照比例直接相加。