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quantum information/Silicon vacancy center in 4H-SiC: Electronic structure and spin-photon interfaces.md

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+# abstract
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+SiC 中的缺陷由于其性质和技术的成熟，有望被用于基于量子的应用。
+我们使用群论和 DFT，计算了 Si 空位的多体对称电子波函数，研究了这些态中的自旋-轨道和自旋-自旋耦合。
+尽管我们只是关注于 4H 中的 Si 空位（因为它的活跃电子是奇数个），我们的方法可以推广到其它晶型，尤其是 6H。
+基于这些结果，我们确认了光导致电子自旋极化的机制，得到了 the ordering of its dark doublet states，
+  指出了电场或应变探测器的可能原理，并且计算出它的基态 ZFS 是 68 MHz，与实验符合得很好。
+除此以外，我们提出了两个不同的自旋-光子协议。
+我们的结果推动了量子相关 SiC 应用的发展。
+
+# 第一段
+
+最近几年，固体中的深能级缺陷已经被研究在量子信息、量子传感、纳米成像包括生物成像领域。
+这些深能级缺陷都有较好的性质，其中最重要的就是室温下的长自旋耦合时间，and integrability into a solid-state matrix。
+金刚石中的 NV 缺陷已经被研究得透彻。
+SiC 中的深能级缺陷是它的一个有力竞争者，因为它更便宜，更容易制备，光学发射波长更好。
+
+# 第二段
+
+SiC 中的一些缺陷与 NV 缺陷有相同的性质（包括活跃电子的数量，对称性，自旋和电子结构）。
+这包括 Si-C 双空位，在今年已经被研究。
+Si 空位的研究表明，这是一种独特的缺陷，包括自旋 3/2 的基态，相比于 NV 态，它定量和定性的性质都更好。
+目前，Si 空位的室温自旋极化和耦合控制已经通过电子自旋共振和 ODMR 实现。
+与 NV 不同，Si 空位的理论研究被限制于使用 DFT 寻找它的单体能级。
+尽管这样的 DFT 也是很重要的，但研究多体波函数也是很重要的，这对理解缺陷结构和利用它的性质是很重要的。
+
+# 第三段
+
+在本文中，通过结合群论和 DFT，我们计算了 Si 空位的多体对称电子波函数。
+我们明确确定了基态和激发态的多体波函数，其中同时考虑了自旋和轨道。
+我们进一步研究了自旋-轨道和自旋-自旋相互作用。
+在此基础上，
+* 定量解释了实验中的电子自旋极化机制；
+* 发现了 ZFS，且与实验吻合；
+* 提出了一个机制，使得该缺陷可以被用于电场和应变探测器；
+* 提出了两个不同的自旋-光子协议，包括产生一系列的调制光子，并建立了一个在量子技术中有潜在应用的 lambda 系统。
+
+TODO: lambda 系统是什么？
+
+# 第四段
+
+出现 Si 空位后，对称性从 $C_{6v}$ 降低到 $C_{3v}$，并且留下了四个悬挂键。
+使用群论推测出了波函数的形式，具体的组合系数使用 DFT 算出。
+这篇文章中认为，a1 比 e 低。
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+# 第五段
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+四个能级总共被 5 个电子占据，也可以看作是被 3 个空穴占据。
+我们认为，最低的三个空穴能级是：ve_xe_y，ue_xe_y，vve_x。
+我们使用空穴的轨道和总自旋的本征态作张量积，然后计算了多体对称波函数。
+奇数个电子和接近 $T_d$ 对称性使得这个缺陷的结构比 NV 和 SiC 中的双原子缺陷更复杂。
+因此，我们使用一个投影算符来系统地计算多体波函数。
+结果列在表 1 中，通过总自旋、轨道和自旋对称性、总对称性来分类。
+基态自旋为 3/2（四重态），附近有其它的双重态（1/2），它们与基态有相同的轨道部分，但因为库伦作用分离开来。
+TODO: 这是什么意思？
+
+# 第六段
+
+取自旋-轨道耦合的哈密顿量为各个电子自旋与轨道角动量的内积和。
+轨道角动量取为：
+
+$$
+\vec \ell = \frac{1}{2m^2c^2} (\nabla V) \times \vec p
+$$
+
+TODO: 为什么是这样一个算符？
+
+轨道和自旋角动量 transform as (E, A2) representation，所以自旋-轨道耦合的哈密顿量在 A1 表示中。
+
+TODO: 为什么？
+
+

quantum information/Symmetry.md

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+# Introduction to Symmetry
+
+# Symmetry Operations and Symmetry Elements
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+# Symmetry Classification of Molecules- Point Groups
+
+分子点群包括以下几类：
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+TODO: 明确每一类的定义到底是什么。
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+# Symmetry and Physical Properties
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+只有 $C_n$ $C_{nv}$ $C_s$ 的分子才有非零的偶极矩。
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+# Combining Symmetry Operations - ‘Group Multiplication’
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+# Constructing higher groups from simpler groups
+
+# Mathematical Definition of a Group
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+# Review of Matrices
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+# Transformation matrices
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+# Matrix Representations of Groups
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+# Properties of Matrix Representations
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+# Reduction of Representations I
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+# Irreducible representations and symmetry species
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+这里引入了 symmetry species 的概念。看起来它就是指的不可约表示。
+在命名时：
+* 一维的不可约表示用 $A$ 或 $B$ 表示，其中 $A$ 表示对称的形式，$B$ 表示反对称的形式。
+* 二维的不可约表示用 $E$ 表示。
+* 三维的不可约表示用 $T$ 表示。
+* 在群内有反演中心的情况下，使用 $g$ 表示反演对称的不可约表示，使用 $u$ 表示反对称的不可约表示。
+* 在群内有水平的反射面但没有反演中心的情况下，使用一个撇来表示反射对称和反射反对称。
+* 如果有必要进一步区分，使用数字下标 $1$ 表示存在垂直于主轴的 $C_2$ 轴，使用数字下标 $2$ 表示存在垂直于主轴的反射面。
+
+在以上的命名规则中，通常只考虑在实数范围内对表示进行对角化。
+或者说，有时会出现这样的情况：在复数范围内一个表示可以被对角化（进一步分解），但在实数范围内不能继续被分解了。
+在这种情况下，将它作为不可约表示来命名。
+这是因为，对于厄米矩阵，它的特征值是实数，或者说它本身还包含一个对称性（对称元素是求复共轭）；
+  如果将这个对称性也加入到群中，那么不是共轭类的两个元素（例如 $C_3$ 和 $C_3^2$）就成为了共轭类，两个不可约表示被耦合成了一个不可约表示。
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+# Character Tables
+
+TODO: 特征标表中有时出现的函数指代的是什么？
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+# Reduction of representations II
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+大正交理论（Great Orthogonality Theorem）：群的所有不等价不可约表示的矩阵元描述的群函数是：
+* 互相正交的；
+* 完整描述了群函数空间（完备）；
+* 每个群函数的模方（按照向量的模来定义的话）都等于群的阶数除以表示的维数。
+
+小正交理论（Little Orthogonality Theorem）：
+* 群的所有不等价不可约表示的特征标导出的群函数正交；
+* 群的所有不等价不可约表示的特征标导出的群函数模方为群元素的个数；
+* 群的所有不等价不可约表示的特征标导出的类函数完备（但通常不正交）。
+
+# Symmetry Adapted Linear Combinations (SALCs)
+
+使用以下投影算符，以从任意一组基出发，得到分块对角化后，属于某个不可约表示的基：
+
+$$
+P = \sum_g \chi(g) g
+$$
+
+TODO: 为什么可以这样做？
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+# Determining whether an Integral can be Non-zero
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+在我们要考虑的积分中，被积函数总是 $O(3)$ 上的函数，并且属于某个线性空间中、属于某个不可约表示的基，且积分的上下限总是全 $O(3)$ 空间。
+在这个前提下考虑，就可以知道，如果函数属于的表示是完全对称的，那么积分就可能不为零；否则，积分一定为零。
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+TODO: 按照严格的数学来表述的话，这是为什么？
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+# Bonding in Diatomics
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+如果两个函数各属于某个不可约表示，那么它们相乘后属于的表示（可能可约）是原先的不可约表示的直积（不是直和）。
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+TODO: 为什么？
+TODO: 当新表示可约，相乘后的函数有没有可能属于其中某一个不可约表示？
+TODO: 如果新表示可约，并且不同的子表示奇偶性不同，那么函数属于不同的不可约表示是否会导致积分的情况不同？
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+# Bonding in Polyatomics- Constructing Molecular Orbitals from SALCs
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