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DFT/A Primer in Density Functional Theory.md

@@ -0,0 +1,35 @@
+# A Primer in Density Functional Theory
+
+## 6 A Tutorial on Density Functional Theory
+
+### 6.1 Introduction
+
+### 6.2 Solving the Kohn–Sham Equations
+
+#### 6.2.1 Generalities
+
+体系的能量并不是 KS 轨道的能量之和，它们之间的关系是：
+
+$$
+E = \sum_i \varepsilon_i - \int \dd[3]r \left[ \frac12 v_\text{Hartree}(\pmb r) + v_\text{xc}(\pmb r) \right] n(\pmb r) + E_\text{xc}
+$$
+
+其中 Hartree 势能为经典电子间相互作用势能：
+
+$$
+v_\text{Hartree}(\pmb r) = \int \frac{n(\pmb r')}{|\pmb r - \pmb r'|} \dd[3]r'
+$$
+
+#### 6.2.2 Atoms
+
+这里讲了，对于多个电子的单个原子，在实践中是如何处理的。
+
+假定电荷在各个方向是均匀的，它的 KS 方程写出来之后，可以类似于 H 原子那样将角向方程直接求解出来，
+  只留下一个径向方程。
+根据径向方程的特点，可以得到它的解在无穷远处和在原子核处的行为。
+根据这些关系，二分地确定每个 KS 轨道的能量。
+在这个求解过程中，仍然包含了交换关联泛函。
+求解过程的足够多的细节并没有在这里给出。
+
+
+

DFT/Density Functional Theory Modeling Mathematical Analysis.md

@@ -6,6 +6,7 @@
 * 使用一组基来表示单电子的波函数。可能使用平面波（对于周期性结构），也可能使用高斯函数（对于分子）。
   * 这个单电子的波函数并不是实际体系的波函数。
     也就是说，在实际计算时，我们并不是把这些单电子波函数组合成 Slater 行列式就当成实际波函数来使用的（这样的话误差就太大了）。
+    这些波函数组合成的 Slater 行列式是一个假想的体系的波函数。
 * 根据波函数可以计算出电荷密度。
   * 这个电荷密度既是实际体系的电荷密度，也是假想体系的电荷密度。
   * 如果没有对于泛函的近似，那么这个电荷密度应该是精确的。
@@ -30,11 +31,10 @@ $$
 $$
 
 注意到，波函数对电子的描述有冗余：实际上电子是不可区分的，但波函数实际上描述的是互相之间可以区分的粒子。
-这导致波函数需要更多的约束条件才能使得它处在一个合法的空间中，比如交换反对称性。
-但无论如何，一旦给出波函数，就给每个电子标上了序号。
+这导致波函数需要除了这个方程以外的更多的约束条件才能使得它处在一个合法的空间中，比如交换反对称性。
+但无论如何，一旦给出波函数，就给每个电子“标上了序号”。
 在后续计算有关单体和多体之间关系的问题时，可能需要注意，利用波函数的反对称性来简化计算（或者说，把不物理的冗余信息去掉一些）。
 例如，显然可以根据波函数计算出“第一个电子”的电荷密度（把其它维度积分掉，然后取模方即可），即：
-
 $$
 \rho_1(r_1) = \int |\Psi(x_1, x_2, \ldots, x_N)|^2 \, \dd{\sigma_1} \dd{x}_2 \ldots \dd{x}_N
 $$
@@ -42,8 +42,7 @@ $$
 但这显然是不物理的（什么叫做“第一个电子”呢？）。
 
 因此一般来说，考虑的是所有电子的总的电荷密度，根据对称性，其实也就是上面那个值乘以 $N$；
-或者，考虑两个电荷的共同的概率密度（因为库伦势中，每一项最多只涉及到两个电子）。
-这个等会儿再说。
+有时还需要考虑两个电荷的共同的概率密度（因为库伦势中，每一项最多只涉及到两个电子），需要乘以 $N(N-1)/2$，也是基于同样的原因。
 
 之前提到了实际计算时的过程。但在推导理论（而不关心具体的程序实现）时，使用的是另外一个思路：
 
@@ -57,10 +56,9 @@ $$
 * 可以想象：如果可以直接写出电荷密度到它对应的那些波函数的最低能量的泛函的表达式，求解这个问题就变得很容易了（求个导就行）。
   实际上这个表达式写不出来，如果尽力写的话，就是：
   $$
-    E[\rho] = \int V(r)\rho(r) \dd{r} + F[\rho]
+  E[\rho] = \int V(r)\rho(r) \dd{r} + F[\rho]
   $$
-  这里并没有多么高超的技术，只是把可以直接求出来（电荷密度可以直接决定，不取决于所取的波函数）的部分拿出来，
-    剩下的需要折腾波函数的部分归结到 $F[\rho]$ 里面。
+  这里并没有多么高超的技术，只是把可以直接求出来（电荷密度可以直接决定，不取决于所取的波函数）的部分拿出来，剩下的需要折腾波函数的部分归结到 $F[\rho]$ 里面。
 
 ## 1. Review of Approximations for the Exchange-Correlation Energy in Density-Functional Theory
 
@@ -74,8 +72,7 @@ $$
 
 #### 1.1.3.1 Decomposition of the Universal Functional
 
-要寻找 $F[\rho]$ 的表达式，按照 $F[\rho]$ 的定义，就有这样的思路：
-  在所有合法的、对应的电荷密度一样的波函数中，找出一个动能和电子-电子相互作用能加起来最小的那个。
+要寻找 $F[\rho]$ 的表达式，按照 $F[\rho]$ 的定义，就有这样的思路：在所有合法的、对应的电荷密度一样的波函数中，找出一个动能和电子-电子相互作用能加起来最小的那个。
 按照 Kohn-Sham 的思路，这个事情分为两步走：
 **第一步**，在所有合法的、对应的电荷密度一样的、同时形式是单电子波函数的 Slater 行列式的波函数中，
   找出能量最小的那个，并计算出从电荷密度到波函数的表达式、以及从波函数到能量的表达式，这样就可以得到一个从电荷密度到能量的表达式。