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35c2199149
@ -51,8 +51,63 @@ $$
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$C_0$ 只包含各个 $s_i$ 自己的哈密顿量,$C_1$ 包含了 $s_0$ 和 $s_i$ 之间的相互作用。
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描述它们的方程分别是:
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$$
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\begin{aligned}
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\dot{Q}_{C_0} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_0}, Q_{C_0}] + \varepsilon(Q_{C_0}) \\
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\dot{Q}_{C_i} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_i}, Q_{C_i}] + \varepsilon(Q_{C_i})
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\end{aligned}
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$$
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其中
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$$
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\begin{aligned}
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h_{c_0} &= h_0 \\
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h_{c_i} &= h_0 + h_i + h_{0i}
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\end{aligned}
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$$
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这时,如果要关注每个自旋的行为,对于除了 $s_0$ 以外的每个自旋,将 $Q_{C_i}$ 中关于 $s_0$ 的项取迹即可;
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$$
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Q_{s_i} = \operatorname{Tr}_{s_0} Q_{C_i}
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对于 $s_0$,会得到 $N+1$ 个方程:
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$$
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\begin{aligned}
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\dot{Q}_{s_0} &= Q_{C_0} \\
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\dot{Q}_{s_0} &= \operatorname{Tr}_{s_i} \dot{Q}_{C_i}
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\end{aligned}
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$$
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接下来,我们首先会扩展 3 和 4 式来描述自旋系统之间的相互作用,使得随着时间,退化的密度矩阵的对角元素不变且改变能量的特征值。
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接下来,我们会在 5 式中增加一个额外的 Lindbladian 项,这一项会导致自旋翻转,改变中心自旋的对角元素。
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### 1. Mean intra-spin-bath field
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实际上,之前所说的任何一个 $c_0$ 和 $c_i$ 系统,都一定会受到系统以外的自旋的影响。
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因此,我们在哈密顿量里加一项,来描述其它的(系统之外的)自旋对这个系统的影响。
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具体来说,就是将哈密顿量取为:
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\begin{aligned}
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\tilde h_{c_0} &= h_0 + \beta_0 \\
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\tilde h_{c_i} &= h_0 + \beta_i + h_i + h_{0i} \\
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\beta_0 &= \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \\
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\beta_i &= \sum_{j=1, j\neq i}^{n} (\alpha_j \otimes I_{d_i}) \\
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\alpha_i &= \operatorname{Tr}_i \left( h_{0i} \circ (I_{d_0} \otimes \operatorname{Tr}_0 \rho_{c_i}) \right)
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\end{aligned}
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TODO: 整理一下这里所有符号的含义,确定“平均”的含义。
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注意到:
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\operatorname{Tr}_i \beta_i + \alpha_i = \beta_0
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### 2. Extended Lindbladian
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