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--- a/quantum information/Longitudinal spin relaxation model applied to point-defect qubit systems.md	
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 $C_0$ 只包含各个 $s_i$ 自己的哈密顿量，$C_1$ 包含了 $s_0$ 和 $s_i$ 之间的相互作用。
 描述它们的方程分别是：
 
+$$
+\begin{aligned}
+  \dot{Q}_{C_0} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_0}, Q_{C_0}] + \varepsilon(Q_{C_0}) \\
+  \dot{Q}_{C_i} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_i}, Q_{C_i}] + \varepsilon(Q_{C_i})
+\end{aligned}
+$$
 
+其中
 
+$$
+\begin{aligned}
+  h_{c_0} &= h_0 \\
+  h_{c_i} &= h_0 + h_i + h_{0i}
+\end{aligned}
+$$
 
+这时，如果要关注每个自旋的行为，对于除了 $s_0$ 以外的每个自旋，将 $Q_{C_i}$ 中关于 $s_0$ 的项取迹即可；
 
+$$
+Q_{s_i} = \operatorname{Tr}_{s_0} Q_{C_i}
+$$
+
+对于 $s_0$，会得到 $N+1$ 个方程：
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \dot{Q}_{s_0} &= Q_{C_0} \\
+  \dot{Q}_{s_0} &= \operatorname{Tr}_{s_i} \dot{Q}_{C_i}
+\end{aligned}
+$$
+
+接下来，我们首先会扩展 3 和 4 式来描述自旋系统之间的相互作用，使得随着时间，退化的密度矩阵的对角元素不变且改变能量的特征值。
+接下来，我们会在 5 式中增加一个额外的 Lindbladian 项，这一项会导致自旋翻转，改变中心自旋的对角元素。
+
+### 1. Mean intra-spin-bath field
+
+实际上，之前所说的任何一个 $c_0$ 和 $c_i$ 系统，都一定会受到系统以外的自旋的影响。
+因此，我们在哈密顿量里加一项，来描述其它的（系统之外的）自旋对这个系统的影响。
+具体来说，就是将哈密顿量取为：
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \tilde h_{c_0} &= h_0 + \beta_0 \\
+  \tilde h_{c_i} &= h_0 + \beta_i + h_i + h_{0i} \\
+  \beta_0 &= \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \\
+  \beta_i &= \sum_{j=1, j\neq i}^{n} (\alpha_j \otimes I_{d_i}) \\
+  \alpha_i &= \operatorname{Tr}_i \left( h_{0i} \circ (I_{d_0} \otimes \operatorname{Tr}_0 \rho_{c_i}) \right)
+\end{aligned}
+$$
+
+TODO: 整理一下这里所有符号的含义，确定“平均”的含义。
+
+注意到:
+
+$$
+\operatorname{Tr}_i \beta_i + \alpha_i = \beta_0
+$$
+
+### 2. Extended Lindbladian