你好,我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。
今天这一节课的内容是基础通关。这里会用 5 道典型例题,让你巩固一下线性代数的基础知识,这也是进入应用篇学习之前的一次动手机会。从课程上线到现在快有一个月了,这期间我收到了不少同学的提问和建议,有些问题也是我没有想到的,非常有深度,说实话这让我感觉挺意外的,希望你再接再厉。
现在,你可以看一下基础通关的 5 道例题了,题目和解析都放在了正文中,你可以自己试着做一下。基础通关后,我们应用篇再见。
找到线性方程组 的所有解,其中:
这里考察了解线性方程组的方法,特别是高斯消元法,你可以参考第 4 节的内容。
首先,形成增广矩阵:
接着,分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵:
最后得出该线性方程组的唯一解:
找到线性方程组 的所有解,其中:
这里考察了解线性方程组的方法,特别是高斯消元法。你可以参考第 4 节的内容,和例题一不同的是,例题二这里得到的会是无穷解。所以,这一题里找特殊解和通用解的方法是关键。
首先,形成增广矩阵:
接着,形成增广矩阵:分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵:
使用主元列,得到特殊解:
下一步,获取线性方程组 的通用解,从增广矩阵的左边,能够立即得出:
最后,把特殊解和通用解组合起来就是:
计算矩阵乘 。
这里考察了基本的矩阵乘运算,特别是普通矩阵乘,只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘,你可以参考第 3 节的内容。
矩阵乘无法完成,因为 是 2 行 3 列矩阵, 也是 2 行 3 列矩阵, 和邻居维度不同。
计算矩阵乘 。
这里考察了基本的矩阵乘运算,特别是普通矩阵乘,你可以参考第 3 节的内容。
矩阵乘可以完成,因为两个矩阵的邻居维度相同,拿 举例:,结果:
假设 和它的运算 ,,我们有:
那么, 是内积吗?
这里考察了内积,以及内积的性质之一:对称性,你可以参考第 10 节的内容。
选择 ,,通过计算,能够得到:
于是, 是不对称的。