你好,我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数,今天我们要讲的内容是“线性映射”。
前面我们学的内容都是局限在一个线性空间,或者说一个向量空间中,但今天不一样哦,我们要来看看两个向量空间之间的关系,也就是线性映射。
之前我说过,向量也是对象,是能够相加,能够被标量乘的对象,而且这样计算的结果还是向量。而加和标量乘这样的运算同样适用线性映射。比如:两个实数向量空间 和 ,有一个函数 来完成向量空间 到 的映射,如果我们想要同时保持向量空间结构不变,那么 就要满足:
其中,所有 和 属于向量空间 , 属于实数。于是,我们得到了线性映射的定义。
假设有两个向量空间 和 , 是一个函数,它完成了向量空间 V 到 W 的线性映射,那么线性映射必须满足等式:
其中,任意 和 都属于向量空间 ,而任意 和 都属于实数。
当然,我们能把线性映射表示成矩阵,也就是线性映射矩阵,或者叫做变换矩阵。但因为向量还能组合成矩阵的列,所以我们要特别注意区分矩阵表示的是线性映射还是向量的集合。向量的集合是静态的,而变换矩阵则是动态的哦。
接下来我们再来看看两个任意集合 到 的三类特殊映射,了解一下函数 在不一样的情况下究竟表达了怎样的关系。
通过这些定义,我们就可以引入几个线性映射的特殊概念了。
那么,为什么你需要了解这几个特殊的概念呢?那是因为我们需要通过这些概念引出一个定理:有限维度的向量空间 和 ,如果它们的维度相等,那么它们就是同构的。那就是说,同一维度的向量空间某种程度来说是一样的,因为它们能在没有发生损失的条件下互相转换。
比如, 矩阵向量空间,和 长度是 的向量空间,我们可以认为它们是相同的,因为它们维度都是 ,而且存在一个线性映射和双射使得它们能互相转换。还记得在矩阵那节课中,我提到的矩阵转换吗?很多时候这类转换就是为了计算方便。
刚才提到了线性映射的矩阵表达,那在了解了线性映射的定义后,现在是时候来具体看一看这个更直观,且有实践意义的表达了。之所以说它有实践意义,那是因为我们赋予了它动态特性,让矩阵表示线性变换的过程。
如果存在一个 维向量空间 和它的一个有序基 ,那么对于任意一个属于 的 ,我们能得到一个这样的线性组合:,我们可以说
是 的坐标向量或坐标表达。
我们都了解二维直角坐标系,现在我们通过一个例子,看看一个同样的向量在两个不同坐标系中的表示,加深一下你对线性映射的理解。
假设图中绿色是坐标系 ,黄色是坐标系 。
在 中, 和 是 的标准基,向量 由线性组合 和 表示, 的坐标是 (2,2),于是, 在 中可以被表示成:。
在 中, 和 是 的标准基,向量 由线性组合 和 表示,而这里的 坐标就不同了,变成了 (1.09,0.72),于是, 在 中可以被表示成:。
说到这,你是不是对线性映射有了一个更直观的感受?现在我们就把矩阵引入到线性映射中,于是,我们就有了变换矩阵,也就是用矩阵表示线性变换的过程。
变换矩阵的定义是:我们有向量空间 和 ,它们各自有相应的有序基 和 ,而 就是 到 的线性映射:。
线性映射 中的 是从 到 ,于是,我们就能得到一个 的 的变换矩阵 ,这个变换矩阵中的元素是 ,也就是说, 的坐标就是 的第 列。
我们可以来简化一下表达,把它表示成这样: 。其中, 是 基于 基的坐标向量, 是 基于 基的坐标向量。所以,变换矩阵可以被用来在有序基上,映射坐标。
我们来看一个变换矩阵例子:已知两个向量空间 和 ,它们各自相应的有序基是 和 ,线性映射 表示成以下形式。
于是,我们可以通过这些条件得到变换矩阵 如下。
理解到这里还不算透彻,我们要更进一步,看看在现实图形图像处理中的线性变换是什么样的。接下来我们通过下面三个图形的例子来理解一下。
第一个图形是原始数据,你可以把它看成是由几百个向量的密集点组成的图。
第二个图形的效果看起来很简单,是由原始数据经过 45 度变换后得到的,它的变换矩阵是下面这样的。
第三个图形是原始数据沿平行轴拉伸两倍的效果,变换矩阵是下面这样的。
当然,这三个图形是比较简单的例子,是为了方便你理解,其实我们还能做更复杂的变换,比如:旋转、伸缩的组合等等。
之前我们讨论的线性映射都是在基是一定的情况下,通过变换矩阵做线性映射。那如果基改变了呢?讨论基的改变在实践中也是有重要意义的。比如,为了最小化数据压缩损失,我们需要找到一个合适的被用来数据投影的基。
现在我们就来看看,如果我们改变向量空间 和 的基,线性映射 的变换矩阵会如何改变。我们给向量空间 和 各自增加两个有序基: 和 ,而 是基于新的有序基的变换矩阵。这样, 变换矩阵的计算公式就是:。
在这个新的公式中, 是 向量空间 的恒等映射变换矩阵,向量空间 的恒等映射把基于 的坐标,映射到基于 的坐标上。同理, 是 向量空间 的恒等映射变换矩阵,向量空间 的恒等映射把基于 的坐标,映射到基于 的坐标上。
理论是这样的,那我们还是要通过一个例子来看一下,基改变后,新的线性映射 的变换矩阵到底是如何获取的。我们已知,一个三维实数向量空间 到四维实数向量空间 的一个线性映射,它们各自有标准基 和 。
基于它们各自的标准基 和 ,它的变换矩阵是:
那么现在,我们来看一下,基 和 改变为 和 之后,会有怎样的变化。
对于新基 和 ,我们得到 和 :
于是,我们就可以通过公式得到想要的 了。
最后,我再来讲两个重要的子空间——核空间和像空间,说它们重要是有原因的。核空间可以帮助我们研究线性方程组的性质,同时还可以帮助我们把复杂问题简化,也就是将复杂的大集合分解成小集合的并来研究。而像空间可以帮助我们快速得到线性方程组的秩,这样就能快速判断线性方程组解的情况。现在我们来具体了解一下。
核空间也叫做零空间,你还记得 吗?核空间关注的就是 ,也就是向量空间 中所有经过 映射为零的向量集合,用符号表示就是: 。核的维数叫做零化度(nullity),表示成:。
向量空间 中所有经过 映射后的向量集合,叫做像空间,用符号表示就是:,像空间维数就是秩,表示成:。
通过图形表达出来,你应该能够更好地理解。
最后我以一个定理来结束本节的内容,秩 - 零化度定理:V 的维数等于核空间维数与像空间维数之和 。
好了,到这里线性映射这一讲就结束了,最后我再总结一下前面讲解的内容。
线性映射赋予了线性代数灵魂,也让它在计算机科学中发挥了很大的作用。线性映射的矩阵变换是这一节的重点,你要牢固掌握,因为它在无数现实场景中都在使用,比如:三维图形图像处理中的线性变换,图形的伸缩、旋转等等。
好,今天练习时刻到了,刚刚我们通过图形图像处理中的线性变换的例子,讲了矩阵变换。现在我们还是以这个例子为基础,不过这一次轮到你来解答问题了。如果我们把原始数据整体沿平行轴收缩两倍,那变换矩阵会是怎样的呢?
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