你好,我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数,今天我要讲的内容是“如何通过矩阵转换让 3D 图形显示到二维屏幕上”。
在第八篇的线性映射中,我从二维直角坐标系的角度,讲解了线性映射和变换矩阵。其中,我特别讲到了,二维平面图形图像处理中的线性变换,比如物体的拉伸和旋转。在第九篇的仿射空间中,更是提到了 3D 的平移矩阵、缩放矩阵和旋转矩阵。
而这一篇则有些不一样,我会从更实践的角度,让你了解到二维平面和三维空间的变换,以及 3D 图形是如何显示到二维屏幕上的。矩阵在这里扮演的角色可以说是功不可没,接下来我们一起来看下矩阵到底是怎么做到的。
我们都知道,计算机图形图像处理的是图片,且计算机屏幕是二维的。那你有没有想过,我们在屏幕上看到的静态和动态三维世界到底是怎么回事呢?这个就要涉及到三维到二维的投影技术了,这类技术都离不开矩阵,而且是超大规模矩阵运算。
三维空间的变换依赖于 4×4 矩阵,可能你会想,为什么不是 3×3 呢?这是因为四个关键运算中有一个无法用 3×3 矩阵来完成,其他三个运算为了统一也就都采用 4×4 矩阵了,这四个关键运算是:
平移就是那个无法用 3×3 矩阵来完成的特殊运算,也是看起来最简单的运算,只是每个点都加上向量 ,也就是点 。
但是,你别被这个假象欺骗了,平移这个运算是非线性的。这一点只需要看平移前各点与原点的连线,以及平移后各点与原点之间的连线就知道了。或者,你也可以从公式的角度理解,就是 不等于 。而为了表示平移,以及现实世界的描述,就需要使用第九篇中说的仿射空间。所以,3×3 矩阵是无法平移原点的。
但是,如果我们把原点坐标变成 ,那就能解决平移的问题了。点 的齐次坐标就是 ,这就变成了 4×4 矩阵。接下来,我分别介绍这四个关键运算,它们是 3D 图形显示在屏幕上的第一步,也就是坐标系变换要做的事情,比如:将一个点从局部坐标系变换到世界坐标系是通过平移、缩放及旋转矩阵进行的。
我们沿着向量 平移整个三维空间,把原点平移到了 ,这也就意味着三维空间的每个点都加上了点 。使用齐次坐标,把整个空间平移了 的 4×4 矩阵 如下所示。
这里很重要的一点是,计算机图形图像是基于行向量计算的。也就是说,计算方法是行乘矩阵,而不是矩阵乘列,比如:。
平移的整个过程是这样的:假设要把原来的某个点 平移 ,我们需要切换到齐次坐标 ,然后, 再乘 ,就能得到每个原来的向量 平移到 的最终结果:。
这里你需要注意:一个行向量乘 T 的结果还是一个行向量。
在前端开发中,我们经常会调整图片宽度和高度来适配页面,比如:把图片整体放大 90%,那么在线性代数中就是 0.9 乘单位矩阵。在二维平面中,我们通常用 2×2 矩阵来表达缩放,在三维立体中则是 3×3 矩阵。而在计算机图形图像的齐次坐标中,就不一样了,需要大一个维度,也就是说,3×3 矩阵变成了 4×4 矩阵。
比如,二维平面中图片放大 90% 就是:
三维立体中图片放大 90% 就是:
缩放还可以在不同的方向上进行,比如:一个二维平面图片从整页适配调整到半页适配, 方向就要乘 ,创建一个 的页边留白, 方向就要乘 ,这样得到的缩放矩阵就是:
平移和缩放组合情况会怎样呢?如果我们要先平移再缩放,那应该这样乘:,如果我们要先缩放再平移,那应该这样乘:。注意:它们乘的顺序是不同的,哪个运算先做就先乘,因为矩阵的左乘和右乘的结果是不同的。
在第九篇的仿射空间中提到了平移和缩放矩阵,你也可以回过头再去看看。
二维和三维空间的旋转由正交矩阵 来完成,它的行列式是 +1。同样我们使用齐次坐标,一个平面旋转的正交矩阵 就从 2×2 就变成了 3×3 矩阵 。
这个矩阵是围绕原点旋转了平面,那如果矩阵旋转时围绕的不是原点,而是其他点呢?这个就稍微复杂一些,不是直接旋转,而是先平移再旋转,比如我们要围绕点 ,让平面旋转 角度的话:
整个过程通过数学公式来表达就是:
说完二维我们再来说三维。不过在三维空间中,旋转就有些不一样了,因为它是围绕一个轴“翻转”的。更“数学”的说法就是,围绕 的特征向量的一条线翻转。
现在,我们来看看分别围绕 、 和 轴方向旋转的矩阵 有什么不同?
1. 围绕 轴方向旋转:
2. 围绕 轴方向旋转:
3. 围绕 轴方向旋转:
你看出来哪里不同了吗?其实主要就是 1 的位置不同,以及 轴方向旋转的 互换了。
现在,我们想把 3D 图形显示到二维屏幕上,该怎么做呢?
从数学角度理解就是把三维向量投影到平面上。在线性代数中,我们看到的大部分的平面都是通过原点的,但在现实生活中则不是。一个通过原点的平面是一个向量空间,而其他的平面则是仿射空间,具体仿射空间的定义你可以回顾一下第九篇的内容。
我们先来看看平面通过原点的情况。假设一个通过原点的平面,它的单位法向量是 ,那么平面中的向量 ,满足这个等式:。
而投影到平面的投影矩阵是:。
如果把原来的向量和这个投影矩阵相乘,就能投影这个向量。我们可以用这个投影矩阵来验证一下:单位法向量 投影后成为了 0 向量,而平面向量 投影后还是其自身。
接下来,我们在齐次坐标中来看一下 4×4 的投影矩阵:
假设现在有一个不过原点的平面, 是这个平面上的一个点,现在要把 投影到这个平面,则需要经历三个步骤,和刚才介绍的围绕点 ,让平面旋转 角度经历的三个步骤类似:
整个过程通过数学公式来表达就是:
有了数学知识的铺垫,我们再来看计算机 3D 图形显示到二维屏幕上的过程。在 3D 环境中,三维物体从取景到屏幕显示,需要经历一系列的坐标变换(又称为空间变换),才能生成二维图像显示在输出设备上。
将一个 3D 物体显示出来需要经历三个步骤,其中,第一步,也是最重要的一步就是坐标系变换,将局部坐标系表示的点变换到世界坐标系中,然后再变换到视图坐标系(或叫摄像机坐标系),接着继续变换到裁剪坐标系(投影坐标系)。
最后,我推荐两本非常好的书作为你继续研究计算机 3D 图形的参考。
《TypeScript 图形渲染实战:基于 WebGL 的 3D 架构与实现》,作者:步磊峰,这本书描述了 3D 图形处理的基本数学知识的同时,更注重 WebGL 框架下的图形渲染实战。《Computer Graphics: Principles and Practice (3rd Edition)》,作者:Hughes, Van Dam, McGuire, Skylar, Foley, Feiner, Akeley,这本书虽然也有实践,但更偏重计算机图形理论一些。
今天的整篇内容都是围绕三维空间的变换展开的,你需要掌握三维空间中的四个关键运算:平移、缩放、旋转和投影的基本概念,以及对应的平移、缩放、旋转和投影矩阵,这些都是继续深入学习计算机 3D 图形处理的数学基础。
因为在 3D 环境中,三维物体从取景到屏幕显示,需要经历一系列的坐标变换,才能生成二维图像显示在输出设备上。了解了这些之后,你就能掌握计算机 3D 图形处理的本质,也许还能在将来的实践中优化图形渲染效率。
今天我要给你一道开放题:如果把正方形投影到一个平面上,你会得到一个什么形状的图形?
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