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abstract
本文展示了描述附近环境（包括核自旋和电子自旋）对自旋过程的影响的方法。 这个方法使用了一个扩展的 Lindblad 方程，in the framework of cluster approximation of a central spin system. 我们证明这个方法可以准确地计算出 $T_1$。
INTRODUCTION
NV 很重要，除了 NV 以外一些宽禁带半导体中的缺陷也很重要。
周围环境对点缺陷的性质影响很大。
Lindblad 方程通常被用来描述 Markovian 退化过程。但这个方法依赖于一些实验参数，无法准确描述各种环境。 为了解决这个问题，一些方法被提了出来。
各种方法被提出来，被用于解决各种问题。
在接下来，第二节会介绍理论和实现，第三节会展示一个例子中使用不同近似的效果，第四节会提供 NV 的模拟结果，第五节总结。
METHODOLOGY
我们使用扩展的 Lindblad 方程来描述。我们将使用一下术语：
- 我们将所有的系统都叫做自旋。自旋既被用于指代单个 building blocks，也被用于指代一个复杂的系统。
- 我们假定自旋系统内部的相互作用强于自旋系统之间。
- 使用两个耦合强度的差值来定义自旋。
- 我们将改变密度矩阵对角元的行为称为自旋翻转过程。
TODO: “耦合强度的差值来定义自旋”是指什么？
A. First-order cluster approximation
我们要考虑的系统，包括了一个中心自旋和一些周围的自旋。
我们使用 s_0 来表示中心自旋，使用 s_i 来表示周围的自旋，假定有 n 个周围的自旋。
使用 d_i 来表示这些系统的希尔伯特空间维度。
我们假定 s_i 都只与 s_0 有相互作用。系统的 Lindblad 方程可以写成：
\dot{Q}_S = \frac{1}{i\hbar}[H_0, Q_S] + \varepsilon(Q_S)
其中哈密顿量考虑了每个自旋的哈密顿量，以及每个自旋与中心自旋的相互作用：
H_0 = h_0 + \sum_{i=1}^{n} (h_i + h_{0i})
这个系统的维度会随着 n 的增长而指数增长，还是太复杂，所以再使用一些方法来近似处理这个系统。
我们使用 C_N 来标记一个 N 阶近似中所有的系统。
C_0 只包含各个 s_i 自己的哈密顿量，C_1 包含了 s_0 和 s_i 之间的相互作用。
描述它们的方程分别是：
\begin{aligned}
\dot{Q}_{C_0} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_0}, Q_{C_0}] + \varepsilon(Q_{C_0}) \\
\dot{Q}_{C_i} &= \frac{1}{i\hbar}[h_{c_i}, Q_{C_i}] + \varepsilon(Q_{C_i})
\end{aligned}
其中
\begin{aligned}
h_{c_0} &= h_0 \\
h_{c_i} &= h_0 + h_i + h_{0i}
\end{aligned}
这时，如果要关注每个自旋的行为，对于除了 s_0 以外的每个自旋，将 Q_{C_i} 中关于 s_0 的项取迹即可；
Q_{s_i} = \operatorname{Tr}_{s_0} Q_{C_i}
对于 $s_0$，会得到 N+1 个方程：
\begin{aligned}
\dot{Q}_{s_0} &= Q_{C_0} \\
\dot{Q}_{s_0} &= \operatorname{Tr}_{s_i} \dot{Q}_{C_i}
\end{aligned}
接下来，我们首先会扩展 3 和 4 式来描述自旋系统之间的相互作用，使得随着时间，退化的密度矩阵的对角元素不变且改变能量的特征值。 接下来，我们会在 5 式中增加一个额外的 Lindbladian 项，这一项会导致自旋翻转，改变中心自旋的对角元素。
1. Mean intra-spin-bath field
实际上，之前所说的任何一个 c_0 和 c_i 系统，都一定会受到系统以外的自旋的影响。
因此，我们在哈密顿量里加一项，来描述其它的（系统之外的）自旋对这个系统的影响。
具体来说，就是将哈密顿量取为：
\begin{aligned}
\tilde h_{c_0} &= h_0 + \beta_0 \\
\tilde h_{c_i} &= h_0 + \beta_i + h_i + h_{0i} \\
\beta_0 &= \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \\
\beta_i &= \sum_{j=1, j\neq i}^{n} (\alpha_j \otimes I_{d_i}) \\
\alpha_i &= \operatorname{Tr}_i \left( h_{0i} \circ (I_{d_0} \otimes \operatorname{Tr}_0 \rho_{c_i}) \right)
\end{aligned}
TODO: 整理一下这里所有符号的含义，确定“平均”的含义。
注意到:
\operatorname{Tr}_i \beta_i + \alpha_i = \beta_0
2. Extended Lindbladian
主方程为：
\dot{Q}_{c_i} = \frac{1}{i\hbar}[\tilde h_{c_i}, Q_{c_i}] + \mathcal{L}_{c_i}(Q_{c_i}) + \varepsilon_{c_i}(Q_{c_i})
其中 Lindbladian 写为：
\mathcal{L}_{c_i}(Q_{c_i}) = \sum_l \frac{\dot{b}_{il}}{\operatorname{Tr}(C_{il}^\dagger C_{il} Q_{c_i})}
\left( C_{il} Q_{c_i} C_{il}^\dagger - \frac{1}{2} \left\{ C_{il}^\dagger C_{il}, Q_{c_i} \right\} \right)
其中 l 下标最大取到 $d_0(d_0 - 1)$，Lindblad 算符的定义为：
\begin{aligned}
C_{0l} &= C_l = \left| m \right\rangle \left\langle n \right| \\
C_{il} &= C_l \otimes I_{d_i}
\end{aligned}
TODO: 如此定义，是否正好描述了这两个态之间的转换？
b_{il} 表示自旋翻转的速率。
TODO: 为什么？
注意到分母：
\operatorname{Tr}(C_{il}^\dagger C_{il} Q_{c_i}) = (Q_{s_0}^{c_i})_{nn}
TODO: 这个是如何推导得到的？
当这一项恰好为零时，我们定义整个分式为零（因为这时不会有自旋翻转）。