# Introduction to Symmetry

# Symmetry Operations and Symmetry Elements

# Symmetry Classification of Molecules- Point Groups

分子点群包括以下几类：

TODO: 明确每一类的定义到底是什么。

# Symmetry and Physical Properties

只有 $C_n$ $C_{nv}$ $C_s$ 的分子才有非零的偶极矩。

# Combining Symmetry Operations - ‘Group Multiplication’

# Constructing higher groups from simpler groups

# Mathematical Definition of a Group

# Review of Matrices

# Transformation matrices

# Matrix Representations of Groups

# Properties of Matrix Representations

# Reduction of Representations I

# Irreducible representations and symmetry species

这里引入了 symmetry species 的概念。看起来它就是指的不可约表示。
在命名时：
* 一维的不可约表示用 $A$ 或 $B$ 表示，其中 $A$ 表示对称的形式，$B$ 表示反对称的形式。
* 二维的不可约表示用 $E$ 表示。
* 三维的不可约表示用 $T$ 表示。
* 在群内有反演中心的情况下，使用 $g$ 表示反演对称的不可约表示，使用 $u$ 表示反对称的不可约表示。
* 在群内有水平的反射面但没有反演中心的情况下，使用一个撇来表示反射对称和反射反对称。
* 如果有必要进一步区分，使用数字下标 $1$ 表示存在垂直于主轴的 $C_2$ 轴，使用数字下标 $2$ 表示存在垂直于主轴的反射面。

在以上的命名规则中，通常只考虑在实数范围内对表示进行对角化。
或者说，有时会出现这样的情况：在复数范围内一个表示可以被对角化（进一步分解），但在实数范围内不能继续被分解了。
在这种情况下，将它作为不可约表示来命名。
这是因为，对于厄米矩阵，它的特征值是实数，或者说它本身还包含一个对称性（对称元素是求复共轭）；
  如果将这个对称性也加入到群中，那么不是共轭类的两个元素（例如 $C_3$ 和 $C_3^2$）就成为了共轭类，两个不可约表示被耦合成了一个不可约表示。

# Character Tables

TODO: 特征标表中有时出现的函数指代的是什么？

# Reduction of representations II

大正交理论（Great Orthogonality Theorem）：群的所有不等价不可约表示的矩阵元描述的群函数是：
* 互相正交的；
* 完整描述了群函数空间（完备）；
* 每个群函数的模方（按照向量的模来定义的话）都等于群的阶数除以表示的维数。

小正交理论（Little Orthogonality Theorem）：
* 群的所有不等价不可约表示的特征标导出的群函数正交；
* 群的所有不等价不可约表示的特征标导出的群函数模方为群元素的个数；
* 群的所有不等价不可约表示的特征标导出的类函数完备（但通常不正交）。

# Symmetry Adapted Linear Combinations (SALCs)

使用以下投影算符，以从任意一组基出发，得到分块对角化后，属于某个不可约表示的基：

$$
P = \sum_g \chi(g) g
$$

TODO: 为什么可以这样做？

# Determining whether an Integral can be Non-zero

在我们要考虑的积分中，被积函数总是 $O(3)$ 上的函数，并且属于某个线性空间中、属于某个不可约表示的基，且积分的上下限总是全 $O(3)$ 空间。
在这个前提下考虑，就可以知道，如果函数属于的表示是完全对称的，那么积分就可能不为零；否则，积分一定为零。

TODO: 按照严格的数学来表述的话，这是为什么？

# Bonding in Diatomics

如果两个函数各属于某个不可约表示，那么它们相乘后属于的表示（可能可约）是原先的不可约表示的直积（不是直和）。

TODO: 为什么？
TODO: 当新表示可约，相乘后的函数有没有可能属于其中某一个不可约表示？
TODO: 如果新表示可约，并且不同的子表示奇偶性不同，那么函数属于不同的不可约表示是否会导致积分的情况不同？

# Bonding in Polyatomics- Constructing Molecular Orbitals from SALCs