# 前置的知识

定义纯态的密度算符（或者密度矩阵为）：

$$
\rho = |\psi\rangle\langle\psi|
$$

之所以要定义这个东西，是因为有这些好处：

* 它与波函数是等价的。
* 在很多情况下，使用密度算符代替波函数来计算，会更容易。例如：
  * 一个密度矩阵的对角元素就是观测时，坍缩到对应基的概率分布。
    例如，如果能级没有简并，并且取能量本征态为基，那密度矩阵的对角元就是观测时所处能级的概率。
  * 要计算一个算符的数学期望，只要计算 $\operatorname{Tr}(\rho A)$ 或者 $\operatorname{Tr}(A\rho)$。
  * 描述密度算符的演化使用 Liouville（刘维尔）方程，它与薛定谔方程等价：
    $$
      \frac{d\rho}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[H, \rho]
    $$
* 它可以用来方便地描述混合态。
  混态的“波函数”显然不能把纯态的波函数按比例相加得到（它与叠加态不同，叠加态的波函数是如此相加的），
    但是可以把纯态的密度算符按比例相加定义为混合态的密度算符。
  如此定义得到的混态的密度算符保持了很多与纯态密度算符相同的性质（包括上面列举的三点）。
* 如果基恰好取为对应的纯态，那么混态的密度算符的非对角元就是零。可以认为，混态密度算符的非对角元是用来描述基矢之间的相干的。

如果有两个耦合在一起的系统处在某个纯态，但我们只能观测和研究其中的一个系统而没法观测另一个系统，那么就可以认为观测的系统处在混态。
这个混态的密度矩阵等于整个系统的密度矩阵的偏迹（只对其中一个系统中的那些维度求迹）。
要描述这个混态的演化，不能只使用刘维尔方程（刘维尔方程中的哈密顿量只考虑了系统内部的相互作用，而没有考虑到另外一个系统对它的影响）。
假定密度矩阵的演化是一个马尔科夫过程
  （就是没有记忆效应，也就是说，某一个时刻之后的密度矩阵只需要这个时刻的密度矩阵就可以得出，而不需要之前的密度矩阵），
  那么它的演化可以用 Lindblad（林德布拉德）方程来描述：

$$
  \frac{d\rho}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[H, \rho]
    + \sum_k \left( L_k \rho L_k^\dagger - \frac{1}{2} \{L_k^\dagger L_k, \rho\} \right)
$$

$L_k$ 是描述系统和环境之间相互作用的算符，它们的具体形式取决于系统和环境的相互作用的细节。
$L_k$ 最多有 $n^2 - 1$ 个（但并不是一定有这么多个），其中 $n$ 是系统的维度。
括号里的第一项可以看作是环境对密度矩阵的影响，第二项是用来作归一化的。

林德布拉德方程的推导相当困难（用到的前置数学太多），我不会。