# 绪论

# 光纤的传输特性

## 介质平板波导中的波

### 折射定律

### 介质平板波导的结构

取芯层（介质平板）的折射率和波数分别为 $n_1$ 和 $k_1$ ，基底（下层）的为 $n_2$ 和 $k_2$ ，敷层（上层）的为 $n_3$ 和 $k_3$。
使用光的射线理论进行研究。
导模波矢与界面夹角不能太大（否则就不能发生全内反射）。定义这个入射角为 $\theta$，可以知道这个入射角必须大于某个值。
而且，如果包层的折射率与芯层的折射率差别不大，$\theta$ 就必须非常接近 $\pi/2$。

### 介质平板波导的射线理论

#### 导波

在通常的介质（$n > 1$）中，波矢的长度会比在真空中长。具体来说，就是 $k_1 = n_1 k_0$，其中 $k_0$ 是真空中的波矢。
取 $z$ 方向为传播方向。定义传播常数 $\beta = k_z = k_0 n_1 \sin \theta$。

#### 垂直极化波（TM）与水平极化波（TE）

TM 波的磁场垂直于传播方向，TE 波的电场垂直于传播方向。
无论哪个模式，电场与磁场都是垂直于波矢的。

#### 导波的特征方程和横向谐振条件

![image-20240107172726611](assets/image-20240107172726611.png)

导波要求波在垂直于平板的方向是一个驻波，波节在平板处。可以得到：

$$
dk_0 n_1 \cos \theta - \phi_2 - \phi_3 = m\pi
$$

其中 $d$ 指平板的厚度，$\phi_2$ 和 $\phi_3$ 分别是在基底和敷层中反射时造成的相位差。

由此引入了“模式”的概念：不是随便什么波都可以在介质平板波导中传播，它必须满足在垂直于平板的方向上是一个驻波的条件；
  它同时还需要满足全反射角的条件，也即 $\beta$ 必须足够大，使得发生全反射。
总之，如果将 $k_x$ 和 $k_z$（或者其它两个变量）作为坐标轴，那么允许的波矢就形成了一条条离散的线。
这些线被定义为一个个模式，记为 $\mathrm{TE_m}$ 和 $\mathrm{TM_m}$。

#### 辐射模

#### 模式的截止波长

#### 单模传输条件

单模传输条件是指，对于物理结构（尺寸以及各个部分的折射率）已经确定的光纤，可以调整输入光的波长（或频率）。
当频率取得非常高时，这个频率对应到光纤中一定有非常多个模式；
  随着频率降低，模式的数量也会减少，直到只剩下一个模式。
按照经验，$\mathrm{TM_0}$ 模式的截止频率比 $\mathrm{TE_0}$ 模式的截止频率高。
也就是说，$\mathrm{TM_0}$ 模式会先截止，最终只剩下 $\mathrm{TE_0}$ 模式。

## 阶跃折射率光纤

### 阶跃折射率光纤中射线的概念

#### 阶跃折射率光纤中的折射率分布

#### 阶跃折射率光纤中的子午线与斜射线

接下来只研究子午线的情况。

#### 阶跃折射率光纤的数值孔径

定义数值孔径为 $\mathrm{NA} = n_1\sqrt{2\Delta}$，
  其中 $\Delta = \frac{n_1^2 - n_2^2}{2n_1^2} \approx \frac{n_1 - n_2}{n_1}$。
$\Delta$ 反应了光纤芯层的折射率与包层的折射率之间的差别。
数值孔径则表示，从真空中入射的光线，能够进入光纤进行传播的最大入射角的正弦值或最大入射角本身
  （$\mathrm{NA} = \sin \varphi_{\max} \approx \varphi_{\max}$）。

### 阶跃折射率光纤的标量解法

#### 标量解近似

#### 标量解的场表达式

在无源、各向同性的介质中，有（亥姆霍兹方程）：

$$
\nabla^2 \mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0
$$

这个方程中 $\mathbf{E}$ 是指实际的物理量而不是复数形式的表示，并且表示的是某一个时刻的电场强度。
它是由波动方程：

$$
(\nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}) \mathbf{E} = 0
$$

分离变量后，取空间部分得到的。

导模波矢几乎平行于 $z$。取电场方向为 $y$ 方向，并假定 $E_y$ 也满足上述方程：

$$
\nabla^2 E_y + k_0^2 n^2 E_y = 0
$$

在圆柱坐标系中展开，并解之，得到：

$$
\begin{aligned}
  E_y(r, \theta, z) &= R(r) \Theta(\theta) Z(z) \\
  Z(z) &\propto \sin(\beta z) \mathrm{or} \cos(\beta z) \\
  \Theta(\theta) &\propto \sin(m\theta) \mathrm{or} \cos(m\theta)
\end{aligned}
$$

（书中这里将 $Z(z)$ 写为复数，我认为这是不合适的，因此这里定义的电场还是实际的物理量而不是复数形式表示的单个频率的结果。）

径向的解较为复杂。考虑一些边界条件后，可以最终解出 $R(r)$ 的表达式，它为在芯层和包层中的分段函数。

TODO: 将解方程的过程记录在这里。

定义自由空间中的平面波阻抗 $Z_0 = \frac{\mu_0}{\varepsilon_0}$ 以及介质中的平面波阻抗 $Z = \frac{Z_0}{n}$。
有：$H_x = \frac{E_y}{Z}$。
因此可以在包层和芯层中分别计算出 $H_x$ 的表达式。

在这之后，之前被忽略的 $E_z$ 和 $H_z$ 也可以被计算出来。

TODO: 将计算过程记录在这里。

注意到，所有的场量最终都由 $E_y$ 表出。因此，在考虑每个模式的特征时，只需要考虑 $E_y$ 即可。

在使用复数来表示电场后，$z$ 方向的两个解可以被表示成 e 指数，并视为两个沿着不同方向传播的波。
而在 $\theta$ 方向上的两个解则通常被理解为不同的模式。
特别地，当 $m = 0$ 时，对应于 TE 和 TM 模式；当 $m = 1$ 时，对应于两个简并的模式（通过旋转坐标系，两者可以重合）。
这个问题在后面的章节中会继续讨论。

#### 标量解的特征方程（横向谐振条件）

对于既定结构（尺寸和折射率）的光纤，定义一定频率的光的归一化频率：$V = \sqrt{2\delta} n_1 k_0 a$。

TODO: 这里标量解的特征方程有什么用？如何理解？

#### 标量模及其特性