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quantum information/Longitudinal spin relaxation model applied to point-defect qubit systems.md

@@ -19,5 +19,40 @@ Lindblad 方程通常被用来描述 Markovian 退化过程。但这个方法依
 
 # METHODOLOGY
 
+我们使用扩展的 Lindblad 方程来描述。我们将使用一下术语：
+* 我们将所有的系统都叫做自旋。自旋既被用于指代单个 building blocks，也被用于指代一个复杂的系统。
+* 我们假定自旋系统内部的相互作用强于自旋系统之间。
+* 使用两个耦合强度的差值来定义自旋。
+* 我们将改变密度矩阵对角元的行为称为自旋翻转过程。
+
+TODO: “耦合强度的差值来定义自旋”是指什么？
+
+## A. First-order cluster approximation
+
+我们要考虑的系统，包括了一个中心自旋和一些周围的自旋。
+我们使用 $s_0$ 来表示中心自旋，使用 $s_i$ 来表示周围的自旋，假定有 $n$ 个周围的自旋。
+使用 $d_i$ 来表示这些系统的希尔伯特空间维度。
+
+我们假定 $s_i$ 都只与 $s_0$ 有相互作用。系统的 Lindblad 方程可以写成：
+
+$$
+\dot{Q}_S = \frac{1}{i\hbar}[H_0, Q_S] + \varepsilon(Q_S)
+$$
+
+其中哈密顿量考虑了每个自旋的哈密顿量，以及每个自旋与中心自旋的相互作用：
+
+$$
+H_0 = h_0 + \sum_{i=1}^{n} (h_i + h_{0i})
+$$
+
+这个系统的维度会随着 $n$ 的增长而指数增长，还是太复杂，所以再使用一些方法来近似处理这个系统。
+
+我们使用 $C_N$ 来标记一个 $N$ 阶近似中所有的系统。
+$C_0$ 只包含各个 $s_i$ 自己的哈密顿量，$C_1$ 包含了 $s_0$ 和 $s_i$ 之间的相互作用。
+描述它们的方程分别是：
+
+
+
+
 
 

quantum information/Simple derivation of the Lindblad equation.md

@@ -1,6 +1,43 @@
+$\require{physics}$
+
 # abstract
 
 本文讨论了林德布拉德方程在一个特殊情况下的推导，给出了一个直观的印象，指出 Markov 近似是林德布拉德算符的前提条件。
 严格的推导需要量子动力学半群，并且需要考虑环境和温度，这里不作讨论。
 
+# 1. Introduction
+
+定义超算符，就是在一个算符两侧作用一对相互共轭的算符。
+
+定义混合态的密度算符：
+
+$$
+\rho(t) = \sum_{i} p_i \rho_i(t)
+$$
+
+注意到，混合态不是纠缠态，各个纯态之间是独立演化的，所以概率分布是不含时，由系统完全决定的。
+由此可以推导得到刘维尔（Liouvile）方程：
+
+$$
+\dv{\rho(t)}{t} = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho(t)]
+$$
+
+在这个基础上，可以扩展得到林德布拉德（Lindblad）方程：
+
+$$
+  \dv{\rho(t)}{t} = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho(t)]
+    + \sum_{i} \qty( L_i \rho(t) L_i^\dagger - \frac{1}{2} \qty{L_i^\dagger L_i, \rho(t)} )
+$$
+
+其中 $L_i$ 是林德布拉德算符，它用于描述体系受到的扰动的效果。
+可以证明，最多只需要取 $N^2 - 1$ 个算符就可以描述所有的扰动的自由度，其中 $N$ 是纯态波函数所在希尔伯特空间的维度。
+
+# 2. Lindblad examples
+
+这里使用的不是国际单位制，因此会有一些常数上的差别。
+全部假定 $H = 0$，并且前四个例子都只考虑二维空间中的情况。
+
+## 2.1. Random phases
+
+考虑两个纯态组成的混合态，它们的相位会随着时间随机游走，