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# 第 1 章 量子态的描述
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## 1.1 量子力学基本原理的回顾
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如果取算符 $F$ 的一系列本征态作为基矢表示所有的向量和算符,那么就称为 $F$ 表象。
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## 1.2 密度矩阵
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### 1.2.1 密度算符与密度矩阵
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定义某个量子态(这里考虑的都是纯态)的密度算符(或者密度矩阵,如果已经取定了一个基的话)为:
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$$
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\rho = \left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|
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$$
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它本质上就是到 $|\psi\rangle$ 的投影算符。
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对于力学量 $G$,要计算它的期望值,可以用密度算符来简化计算(在 $G$ 左右两边各插入一个单位矩阵,然后仔细推导即可得到):
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$$l
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\left\langle \psi \right| G \left| \psi \right\rangle = \operatorname{tr}(G \rho) = \operatorname{tr}(\rho G)
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$$
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波函数随时间发生改变(随时间演化),密度算符也会随时间演化。可以证明:
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\frac{d}{dt} \rho = \frac{1}{i\hbar} [H, \rho]
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$$
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特别地,如果使用能量表象(即哈密顿算符的本征态作为基矢),那么可以知道密度矩阵的矩阵元随时间演化的规律为:
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$$
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\frac{d}{dt} \rho_{mn}(t) = \rho_{mn}(0) \exp\left( \frac{t}{i\hbar} (E_m - E_n) \right)
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$$
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也就是,对角元素不变,非对角元的相位一般会随时间改变。
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在泡利表象($\sigma_z$ 表象)下,沿着空间中某个方向(按照通常的球坐标系定义 $\theta$ 和 $\phi$)的自旋算符对应矩阵为:
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$$
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\begin{pmatrix}
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\cos\theta & \sin\theta e^{-i\varphi} \\
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\sin\theta e^{i\varphi} & -\cos\theta
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\end{pmatrix}
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$$
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### 1.2.2 混合态的密度矩阵
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定义混合态的密度矩阵为按照比例直接相加(这里的纯态不需要互相正交,甚至不需要互相线性无关)。
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它会保有一部分纯态的密度矩阵才有的性质。
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容易证明,相当多的情况下,混合态用于计算的时候,形式上也是纯态按照比例直接相加。
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