# 前言

# 课程导言

# 第一章 群的基本概念

## 1.1 群

## 1.2 子群与陪集

群可以被均等地分割为一系列陪集的并。

## 1.3 类与不变子群

与某个共轭类中所有元素都对易的元素构成一个子群。由这个子群出发，可以得到一系列陪集。
每个陪集 $g_iH$ 唯一地对应于共轭类中的一个元素 $g_ig_0g_i^{-1}$，因此共轭类中元素的个数等于陪集的个数，它们都是群元素个数的因数。

若一个子群中，所有元素的共轭元素也在这个子群中，则称这个子群为不变子群。
由不变子群出发，得到的一系列陪集构成一个群，称为群对不变子群的商群。

## 1.4 同构与同态

一个群到另外一个群的映射保持群乘法成立，称为两群同态，对应的映射称为同态映射。
在群表示论中，同态的定义需要进一步要求映射为满射。
在这种情况下，同态核为不变子群，且对应的商群与像群同构。

群到自己的同构映射成为自同构映射，所有自同构映射组成的群称为自同构群。
使用群元素 $g$ 构造的自同构映射 $g^{-1}xg$ 称为内自同构映射。不同元素可能得到相同的内自同构映射。
所有的内自同构映射构成一个内自同构群，它是自同构群的不变子群。

## 1.5 变换群

一个非空集合到其自身的双射称为一个变换或者置换。
$n$ 个元素的集合对应的所有变换组成的群称为 $n$ 阶完全对称群或 $n$ 阶完全置换群，其子群称为 $n$ 阶变换群或 $n$ 阶对称群。
对于给定的对称群 $G$，可以互相映射得到的元素称为等价元素，与 $x$ 等价的元素组成的集合，称为 $x$ 的 $G$ 轨道。
几个轨道的并组成的集合，称为不变子集。
对于集合中的某个元素和集合的一个变换群，若该元素的轨道只有自己（对这个变换群不变），则称这个变换群为对这个元素的迷向子群。
将迷向子群置于更大的变换群中，得到一系列陪集，每一个陪集对应于该元素在更大的变换群中的轨道上的一点。

## 1.6 直积与半直积

两个群的乘法互易，且只有单位元素为共同元素，则称这两个群可以通过直积构成一个新的群，原来的群叫做新的群的直积因子。
对于不互异的情况，如果 $G_1$ 存在一个与 $G_2$ 同态的自同构映射群，
  也就是使得 $(g_1g_2)(g'_1g'_2) = g_1g_2g'_1g'_2 = g_1v_{g_2}(g'_1)g_2g'_2$，
  则也可以构成一个新的群，称为半直积。
在直积的情况中，两个群都是新群的不变子群；在非直积的半直积的情况中，$G_1$ 是新群的不变子群，$G_2$ 不是。

# 第二章 群表示理论

## 2.1 群表示

线性空间上的（不一定是所有）非奇异线性变换组成的群称为线性变换群。
群到线性变换群的同态映射称为群的一个表示。在选定线性空间上的基矢后，一个群表示可以写为一系列矩阵。

## 2.2 等价表示、不可约表示、酉表示

对于有限群，可约则完全可约。
这是因为，一旦被写为可约的形式，有固定的公式来将其化为完全可约的形式。
这个公式中需要对所有群元素求和，因此只适用于有限群。

若表示矩阵（或变换）都是酉矩阵（酉变换，即保持内积不变），则称这个表示为酉表示。
酉表示可约则完全可约。这是因为，可以证明，可约得到的两个子空间都是 $G$ 不变的。

## 2.3 群代数与正则表示

定义代数：在线性空间的基础上，再定义向量的乘法，使得该线性空间对乘法封闭，乘法有分配率，数乘与向量乘可交换，即得到一个线性代数或称代数。
代数的乘法不要求结合律和交换律。如果满足结合律，则称为结合代数。

定义群空间：以复数为数域，将群张成一个线性空间，称为群空间。以群本身的乘法作自然的扩展，得到群代数。群代数是结合代数。
在此基础上，将群元素左乘（或将群元素的逆右乘）在群代数中的元素上，得到群的左（右）正则表示。群的正则表示也可以由群的乘法表直接写出。

## 2.4 有限群表示理论

舒尔引理一：对于同一个群的两个不等价有限维不可约表示，不存在非零的线性变换 $M$，使得 $B(g_\alpha)M=MA(g_\alpha)$。
按照定义，不等价表示不存在 $M^{-1}B(g_\alpha)M=A(g_\alpha)$，舒尔引理一相当于将这个结论“加强”了一些。

舒尔引理一的证明如下：
不可约表示指，对应的群中不能存在非平凡的不变子空间（否则这个子空间对应的就是一个更小的表示，与不可约表示矛盾）。
取 $M$ 的核，代入验证可以知道，$A(g_\alpha)\operatorname{Ker}(M)=\operatorname{Ker}(M)$，
  也即 $\operatorname{Ker}(M)$ $G$ 不变。
因此 $\operatorname{Ker}(M)$ 只能是平凡的：要么是全空间（这时 $M = 0$），要么是零空间（这时 $M$ 是双射）。
同样代入可以验证，$\operatorname{Im}(M)$ 也是 $G$ 不变的。因此 $\operatorname{Im}(M)$ 是平凡子空间，只能是全空间。
在这基础上可知，两空间维数相同，$M$ 可逆。因此直接有 $M^{-1}B(g_\alpha)M=A(g_\alpha)$，两表示等价。

舒尔引理二：与不可约表示互易的矩阵只能是 $E$ 的倍数。
直观上考虑，不可约表示的维度和不重复的矩阵个数有一定关系，如果矩阵维度太大或者矩阵个数太少，就应该可以继续分解。
舒尔引理二给定了这样一个结果：矩阵需要多到，使得可以互易的矩阵只剩下单位阵及单位阵的倍数。

舒尔引理二的证明如下：
取定 $M$ 的一个特征子空间，可以证明这个子空间是 $G$ 不变的。
因此这个子空间只能是全空间。因此 $M$ 是单位阵的倍数。

有限群在内积空间的每一个表示都有等价的酉表示。
证明过程是，重新定义一个内积以及与这个内积相适应的正交归一的基矢，然后将原来的表示矩阵变换到新的基矢下，得到的矩阵就是酉矩阵。

定义群函数，就是以群元素为自变量的函数。例如可以取某个表示的特定行特定列，不同群元素在这个位置的值不同，就得到了一个群函数。
再定义群函数空间，其中的内积定义与平时的习惯不同，而是需要除以 $n$。

群函数的正交性定理：
* 来自不等价不可约酉表示（无论维数是否相同）的矩阵元组成的群函数正交。
* 来自同一个不可约酉表示的不同位置的矩阵元组成的群函数正交。
* 来自同一个不可约酉表示的同一个位置的矩阵元的模方和为 $\frac{n}{S_p}$，或者说这两个群函数的内积为 $\frac{1}{S_p}$，
  其中 $S_p$ 是这个表示的维数，$n$ 是群元素个数。

证明过程如下：
任取一个矩阵 $D$，并定义矩阵 $C$ 为 $C = \frac{1}{n}\sum_{g\in G}A^p(g)DA^q(g^{-1})$。
带入验证可知 $C$ 满足舒尔引理一或者二中的形式，因此必须是零矩阵或者单位阵的倍数。
这时再按这样的规则取定 $D$：只有某一行某一列的元素为 $1$，其余元素为 $0$。
这样就可以得到所有的结论。

到目前为止，定义的概念包括：
* 群本身。
* 群空间，以及群代数。
* 我们在群自己组成的群代数上研究群的表示，得到群的左正则表示和右正则表示。
  其中左正则表示和群的乘法表是一致的，但在这本书中，主要用右正则表示来分析问题。
* 作为一个线性空间，群代数有它的子空间。其中一些子空间可能是 $G$ 不变的。
  非平凡的不变子空间对应着一个更小的表示，也就是说，当非平凡的不变子空间出现时，就说明表示是可约的。

酉矩阵（幺正矩阵）的定义：在复数域上定义，要求共轭转置等于逆矩阵。
幺正矩阵的特征值的模长都是 $1$，且其行和列都是正交归一的。

群函数的完备性定理：来自不等价不可约表示的所有群函数张成的空间是完备的，也就是所有不等价不可约表示维数的平方和等于群元素个数。
这个证明的过程如下：
在群代数中取定 $S_p$ 个向量，其中每个向量都按照如下规则选取：取为右正则表示的矩阵元与对应群元素相乘的结果。
并且要求这 $S_p$ 个向量取遍右正则表示的同一行。
将右正则表示作用在它之上，可以验证，这 $S_p$ 个向量张成的空间是 $G$ 不变的。
由此可以知道，所有的不等价不可约表示如此张成的空间共 $\sum_p S_p^2$ 维，它是 $G$ 不变的。
假定这个是不完备的，也就是说在群代数中还存在一个非零的正交补空间。它也必须是 $G$ 不变的。
经过复杂的推导和构造，可以确定这个正交补空间中，存在一个非零的向量，它在前一个空间中。由此导出矛盾，也就是正交补空间为零。

TODO: 具体的证明过程。

群函数的完备性定理实际上等价于 Burnside 定理，也就是说，所有的不等价不可约表示得到的群函数已经穷尽了所有的群函数：

$$
S_1^2 + S_2^2 + \cdots + S_r^2 = n
$$

将从不等价不可约表示得到的群函数写到一起，组成一个矩阵。这个矩阵是方阵。当这些表示都是酉表示时，这个矩阵是类似于幺正矩阵的存在，有类似的性质。

## 2.5 特征标理论

类似于从群元素的不等价不可约表示得到的群函数，也可以从每个共轭类得到函数，称为类函数。
共轭元素的特征标相等，可以作为一个类函数，它填满了整个类函数空间。
由此可以得到结论：不等价不可约表示的个数等于共轭类的个数，它们相当于同一个线性空间中的两组不同的基。

不同的不可约表示的特征标正交；同一个不可约表示中，群元素的特征标的模方和等于 $n$。
可以利用这个性质，计算一个表示是否可以继续分解；以及一个大的表示中，包含了几重某个不可约表示（与它的特征标作内积即可）。

## 2.6 新表示的构成

记矩阵的直积为 $A\otimes B$。如果 $A$ 和 $B$ 大小一样，$C$ 和 $D$ 大小一样，则：

$$
(A\otimes C)(B\otimes D) = (AB)\otimes(CD)
$$

单位阵的直积是单位阵，对角矩阵的直积是对角矩阵，幺正矩阵的直积是幺正矩阵。

矩阵直积的迹等于迹的乘积，因此直积后元素的特征标等于原来的特征标的乘积。
群表示的直积可能可以分解也可能不能，大多数情况下是可以分解的。

直积群可以用子群的表示的直积来表示。如果子群的表示是不可约的，那么直积得到的表示也是不可约的。

可以由子群（不一定是不变子群，也不一定直积可以得到父群）的表示诱导得到父群的表示。

在诱导表示之前，我们有这些信息：
* 一个群 $G$。
* 它的子群 $H$。这个子群不一定是不变子群。
* 一个线性空间 $W$。这个线性空间与群没有任何关系。
* $H$ 在 $W$ 上的表示 $B(h)$。也就是一个从 $H$ 到 $W$ 上的线性变换的映射。

思路上，诱导表示的步骤是这样的：
* 将群 $G$ 按照 $H$ 的陪集分解，得到 $G = \bigcup_{i=1}^l g_iH$。
* 任意建立一个 $\{g_i\}$ 到 $W$ 的映射 $f$，然后将这个定义扩展到要求这个映射仍然保持子群的表示成立，即 $f(hg) = B(h)f(g)$。
  这样就得到了 $G$ 到 $W$ 的一个映射。这样的映射显然可以建立不只一个。
* 将这样的映射的合集记为 $V$。它是一个线性空间。
* 最终，我们在 $V$ 上定义 $G$ 的表示 $U(g)$，要求 $[U(g)f](g'') = f(g''g)$。
* 通过选取 $V$ 中一组方便处理的基，可以由 $B(h)$ 的矩阵写出 $U(g)$ 的矩阵。

为了最终写出 $U(g)$ 的矩阵，步骤是：
* 首先明确，$V$ 中元素受到的限制是，从 $l$ 个元素 $\{g_i\}$ 到 $d$ 维线性空间 $W$ 的映射。
  因此 $V$ 的维数是 $ld$。
* 任意选取 $W$ 的一组基，记为 $\{e_r\}$，其中 $r$ 取 $1$ 到 $d$。任意选取一组就可以了，不需要选取非常多组，也不需要满足什么条件。
* 按照如下方案选取 $V$ 中的基 $\{e_rj\}$，其中 $r$ 取 $1$ 到 $d$，$j$ 取 $1$ 到 $l$：
  将 $g_j$ 映射到 $W$ 中的 $e_r$，将其它的 $g_i$ 映射到 $0$。
  可以将 $e_{rj}$ 看作是只有一个元素为 $1$，其它元素为 $0$ 的矩阵，而 $V$ 中的其它元素都是这样的矩阵的线性组合。
  一旦给定一个 $g_i$（将 $e_{rj}$ 作用到这个 $g_i$ 上），相当于矩阵左乘一个单位向量，结果是矩阵的某一列（大概率全零，小概率有一个 $1$）。
  若给定另外一些群元素，相当于这个向量不是单位向量，得到的是一个比较一般的列向量。
* 根据 $[U(g)f](g'') = f(g''g)$，$U(g)$ 的任意一个元素会恰好将一个基映射到另外一个基。
  一旦搞清楚具体地将哪个基映射到哪个基，就可以写出 $U(g)$ 的矩阵。
  具体来说，就是要找到式子 $U(g)e_{rj}(g_k) = e_{r'j'}(g_k)$ 中，$rj$ 和 $r'j'$ 的关系，这样就知道 $U(g)$ 的每个矩阵元。
  其中，$rj$ 和 $r'j'$ 分别对应于矩阵的每一行和每一列。
  在这里，可以将 $e_{rj}$ 想象成是上述矩阵按列拆开再拼成一个很长（$ld$）的列向量，而 $U(g)$ 是一个方阵，它的长和宽是 $ld$。
  这个方阵就是要找的 $U(g)$ 的矩阵。
* 在搞清楚的过程中，还需要用到两个技巧：
  * 对于任意一个群元素 $g_kg$，按照陪集分解，都存在元素使得 $g_kg=hg_i$，其中 $h$ 是 $H$ 的元素。
    具体该如何对应，只能通过具体的群的特征来确定。
  * 若 $g_i$ 是 $g_k$ 的函数，那么 $e_{rj}(g_i) = e_{rm}(g_k)$，其中 $m$ 是 $k$ 的函数。
    具体这个函数是什么，也只能通过具体的群的特征来确定。
* 在这个基础上就可以推导：
  $$
    [U(g)e_{rj}](g_k) = e_{rj}(g_kg) = e_{rj}(hg_i) = B(h)[e_{rj}(g_i)] = B(h)[e_{rm}(g_k)]
    = \operatorname{diag}(B(h)) e_{rm}(g_k)
  $$
  其中，$\operatorname{diag}(B(h))$ 是将 $B(h)$ 重复 $l$ 次得到的分块对角矩阵，
    或者将 $B(h)$ 的每个元素重复 $l$ 次得到一个小对角矩阵再放回原来的位置上得到的矩阵。
  具体是哪种情况，取决于 $rj$ 扫值时谁先谁后。

最终，按照某个定义，取得的 $U(g)$ 的矩阵为：

$$
U(g) =
\begin{pmatrix}
\dot{B}(g_1gg_1^{-1}) & \dot{B}(g_1gg_2^{-1}) & \cdots & \dot{B}(g_1gg_l^{-1}) \\
\dot{B}(g_2gg_1^{-1}) & \dot{B}(g_2gg_2^{-1}) & \cdots & \dot{B}(g_2gg_l^{-1}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\dot{B}(g_lgg_1^{-1}) & \dot{B}(g_lgg_2^{-1}) & \cdots & \dot{B}(g_lgg_l^{-1})
\end{pmatrix}
$$

其中：
$$
\dot{B}(g_igg_j^{-1}) =
\begin{cases}
  B(g_igg_j^{-1}) & g_igg_j^{-1} \in H \\
  0 & g_igg_j^{-1} \notin H
\end{cases}
$$

另外一个需要注意的事情是：在一些情况下，对陪集给出的元素的遍历，可以替换为对所有群元素的遍历。
例如，求诱导表示的特征标时，由于 $g_igg_i^{-1} \in H$ 等价于 $(hg_i)g(hg_i)^{-1} \in H$，
  因此可以将对 $g_i$ 的遍历替换为对 $hg_i$ 的遍历再除以 $l$，也就是对所有群元素的遍历再除以 $l$。最终：

$$
  \chi^U(g) = \frac{1}{m} \sum_{t \in G} \operatorname{tr}(\dot B(tgt^{-1}))
$$

群的表示在子群上的缩小：群的表示直接视为子群的表示，这个表示可能会变成一个可约表示。

Frobenius 定理：父群的不可约表示缩小到子群上的表示中，子群的某个不可约表示的重复度，
  等于由这个子群的不可约表示诱导得到的父群的表示中，父群的不可约表示在其中的重复度。

# 第三章 点群与空间群

## 3.1 点群基础

点群就是在操作的过程中，操作对象至少有一个点保持不动。点群的一个子群为晶体点群，指在晶体中允许存在的点群的元素。

正方体的对称群记为 $O_h$。

球的对称群称为三位实正交群，记为 $O(3)$。
正交变换是一种特殊的酉变换（定义在实数域上）。
其中行列式值为 1 的变换组成的群为 $SO(3)$，称为三维旋转群，是 $O(3)$ 的不变子群。$SO(3)$ 的所有元素都可以看作是绕某个轴旋转。
$O(3)$ 可以看作是 $SO(3)$ 和反演群的直积。
转动矩阵的迹为 $1 + 2 \cos{\phi}$。

点群是 O(3) 群的子群。包含反演操作的叫第二类点群，不包含（只有转动操作）的叫做第一类点群。
具体来说，考虑点群 $G$ 中纯转动的元素构成的集合（子群） $K$，有几种情况：
* $G$ 是第一类点群，那么 $G=K$。
* $G$ 是包含反演操作的第二类点群，那么 $G = K \cup IK$。
* $G$ 是不包含反演操作的第二类点群，那么 $G$ 与这样的一个群同构：将每个元素中的反演的部分去掉得到的群。

## 3.2 第一类点群

第一类点群的元素之间有一定的互相制约。
为了具体地分析这种制约，想象一个球面，球面上有一些点。这些点并不对应于群元素，而是所有对应于转动轴与球面的交点。
同时，将群元素应用到球上，可以将球旋转，旋转后的点应该与之前的重合。
按照两个点是否可以通过群元素联系起来，将点分成 $l$ 个轨道。同一个轨道中的点对应的旋转轴的阶数相同。
一个 $n_i$ 阶的转动轴对应一个迷向子群，其中有 $n_i - 1$ 个非单位元。
同时，轨道中点的个数为 $\frac{n}{n_i}$，其中 $n$ 是群元素的个数。
以及，一个非单位元对应一个旋转轴，也就是两个球上的点。
考虑总的群元素个数，可以得到：
$$
  n = \sum_{i=1}^l \frac{n}{2n_i}(n_i - 1) + 1
$$
整理就可以得到：
$$
  \sum_{i=1}^l (1 - \frac{1}{n_i}) = 2(1 - \frac{1}{n})
$$
要求：
$$
  n \geq n_i \geq 2
$$

带入验证可以知道，这个方程只有以下解：
* $l = 2, n_1 = n_2 = n$，对应 $C_n$ 群。每个群元素为一类。
* $l = 3, n_1 = n_2 = 2, n_3 = \frac{n}{2}$，对应 $D_{\frac{n}{2}}$ 群。其中 $\frac{n}{2}$ 可以取任意大于等于 $2$ 的整数。
  这个群的极点是这样分布的：球的南北极各一个极点，它们属于同一个轨道；赤道上有 $n$ 个极点，相间隔的点属于同一个轨道。
  对于 $\frac{n}{2}$ 为奇数的情况，总共有 $\frac{n+3}{2}$ 类，一个对应单位元，一个对应所有的二阶转动，
    剩下对应于 $\{C_n^k, C_n^{n - k}\}$。
  对于 $\frac{n}{2}$ 为偶数的情况，总共有 $\frac{n+6}{2}$ 类，一个对应单位元，一个对应 $C_n^{\frac{n}{2}}$，相间隔的二阶转动轴为一类，
    剩下对应于 $\{C_n^k, C_n^{n - k}\}$。
* $l = 3, n_1 = 2, n_2 = n_3 = 3, n = 12$，对应 $T$ 群，也就是正四面体群。
  它的极点是一个正四面体的顶点（$3$ 阶），面心（$3$ 阶），以及棱心（$2$ 阶）。
  群元素分为四类，分别为单位元，三个二阶转动，四个顺时针三阶转动，四个逆时针三阶转动。
  它有三个一维不可约表示，一个三维不可约表示。
* $l = 3, n_1 = 2, n_2 = n_3 = 4, n = 24$，对应 $O$ 群，也就是正八面体群或正方体群。
  它的极点是一个正八面体的顶点（$4$ 阶），面心（$3$ 阶），以及棱心（$2$ 阶）。
  也可以看作是正方体的面心（$4$ 阶），顶点（$3$ 阶），以及棱心（$2$ 阶）。
  群元素共五类，包括单位元，六个二阶转动，八个顺时针和逆时针三阶转动，六个顺时针和逆时针四阶转动，三个连续两次的四阶转动。
* $l = 3, n_1 = 2, n_2 = 3, n_3 = 5, n = 60$，对应 $Y$ 群，也就是正二十面体群或正十二面体群。

## 3.3 第二类点群

分为两种：包含纯反演操作的群，和不包含纯反演操作的群。

对于包含纯反演元素的群，群元素相当于对应的第一类点群加上带反演的同样的第一类点群。
群中的共轭类为对应第一类点群的两倍。
即有以下五种情况：
* $C_n \cup IC_n$，即 $C_{nh}$ 群。
* $D_n \cup ID_n$，即 $D_{nh}$ 群。
* $T \cup IT$，即 $T_h$ 群。
* $O \cup IO$，即 $O_h$ 群。
* $Y \cup IY$，即 $Y_h$ 群。

对于不包含纯反演元素的群，将其中不包含反演的元素组成集合 $K$，包含反演的元素组成集合 $IK^+$。
可以证明，$G$ 与 $K \cup K^+$ 同构，而后者进一步与 $C_2$ 同态，$K$ 是其核。
因此 $K$ 必须是 $K \cup K^+$ 的不变子群，并且元素数量是父群 $K \cup K^+$ 的一半。
因此确定只有这些情况：
* $C_{2n}$ 的 $\{C_{2n}^{2i}\}$ 子群，即 $G = \{C_{2n}^{2i}, IC_{2n}^{2i + 1}\}$。
* $D_n$ 的 $C_n$ 子群，即 $G = C_n \cup I \cup_i^n C_2^{(i)}$。
* $D_{2n}$ 的 $D_n$ 子群，即
  $G = (\{C_{2n}^{2i}\} \cup \cup_i^n C_2^{(2i)}) \cup I(\{C_{2n}^{2i + 1}\} \cup \cup_i^n C_2^{(2i + 1)})$
* $O$ 的 $T$ 子群

熊夫利符号：使用群中最具有代表性的群元素来标记群。通常使用转动反射面而不是转动反演轴。
大致上来说：
* $C_n$ 表示转动轴。
* $D_n$ 表示转动轴和反射面。
* $S_n$ 表示转动反射轴。
* $\sigma_h$ 表示垂直于轴的反射面，$\sigma_v$ 和 $\sigma_d$ 表示平行于轴的反射面。

## 3.4 晶体点群与空间群

晶体制约定理：晶体点群中的转动只能有 1、2、3、4、6 阶。
证明方法是，晶格的三个轴被群元素变换后应该仍然可以由晶格的三个轴表示出来，且表示的系数必须是整数，因此群表示的特征标是整数。
而转动群的特征标是 $1 + 2 \cos{\phi}$，因此 $\phi$ 只能取几个特殊值。
存在 11 个第一类晶体点群和 21 个第二类晶体点群。

在 32 个晶体点群中，按照一些对称性的规则（例如，“存在三个互相垂直的二重轴或二重反轴”），
  可以将它们划分成七个晶系（Crystal System）或六个晶族（Crystal Family）。
对于每一种晶系，可能可以有多种晶格（即布拉菲格子，Bravais Lattice），例如简单格子、体心格子等。共 14 种布拉菲格子。
根据不同的晶格，再次划分成 7 种晶格系统（Lattice System）。晶系与晶格系统并不完全对应，在六角、三方、菱方处分类有交叉。
总之，最终可以得到 230 种空间群。

对于点群的国际符号，大致来说：
* 数字代表转动轴。
* 数字上加一横线代表转动反射轴。
* $m$ 代表反射面。

对于空间群，如果平移矢量总是最小周期重复单元的整数倍，则称为简单空间群。共有 $73$ 种简单空间群。
当出现螺旋轴（Screw Axis）或滑移面（Slide Plane）时，称为非简单空间群。共有 $157$ 种非简单空间群。

空间群的信息可以在 Bilbao Crystallographic Server 上查找。

## 3.5 晶体点群的不可约表示

# 第四章 群论与量子力学

## 4.1 哈密顿算符群与相关定理

当系统中出现偶然简并时，需要小心，可能是一些比较隐蔽的对称性的结果（例子：氢原子的能级简并）。

## 4.2 微扰引起的能级分裂

当哈密顿量加上一个微扰之后：
* 如果加入微扰后，对称性降低，原先简并的能级可能会分裂。
* 如果加入微扰后，对称性不变（微扰的对称性不比原先哈密顿量的对称性更低），原先必然简并的能级不会分裂，但偶然简并可能会分裂。

## 4.3 投影算符与久期行列式的对角化

投影算符的定义：若 $P^2 = P$，则称 $P$ 为投影算符。

如果已知一个函数群的所有不等价不可约酉表示的表示矩阵，那么可以构造一系列对应于这些不可约酉表示的基的投影算符，
  以从任意一组基出发，通过投影，得到这些不可约表示在这个空间中对应的基。
为了达到这个目的，我们首先基于第 $\alpha$ 个不可约表示的第 $k$ 行第 $j$ 列矩阵元构造一个算符：
$$
  \hat{P}_{kj}^{(\alpha)} = \frac{s_\alpha}{n} \sum_{g\in G} A_{kj}^{(\alpha)}(g) \hat{P}_g
$$
可以证明，这个算符做的事情是：将一个向量中属于第 $\alpha$ 个不可约表示的第 $j$ 个基矢的结果取出来（其余部分丢掉），
  然后将系数乘以第 $\alpha$ 个不可约表示的第 $k$ 个基矢，得到结果。
也就是说，$\hat{P}_{jj}^{(\alpha)}$ 就是所求的投影算符。
在此基础上，根据函数空间是否包含这个不可约表示，可以得到一些结论：
* 如果这个函数空间不包含这个不可约表示，那么这个投影算符作用在函数空间上得到的结果总是零。
* 如果这个函数空间只包含一次这个不可约表示，那么随意取函数空间的一个函数（只要它不是恰好与这个本征函数正交），
  使用算符投影后可以得到需要的基。
  换句话说，如果函数空间对所有的不可约表示都最多只包含一遍，那就可以用这个方法取得一组基，这组基恰好是这些不可约表示的基，
  并且对另外的可交换的算符（例如哈密顿量）恰好是一组本征态。
* 如果函数空间包含这个不可约表示超过一次，投影后会得到一个维度大于 1 的子空间。
  这时互易的算符（或者久期行列式）只能被分块对角化；或者说，要将它对角化，需要更多的信息才行。
具体计算时，如果不知道不可约表示的重复次数，可以按照特征标理论来计算，
  也可以将函数空间的已知的一组基分别投影到不可约表示的基上看结果（如果这样计算更方便的话）。

当不知道具体的矩阵元而只知道特征标时，也可以用类似的方法（累加到对应基函数的投影算符得到到某个不可约表示的投影算符）
  来得到属于某个不可约表示的一个基。
当得到一个基后，再通过对称性变换得到别的基矢。

## 4.4 矩阵元定理与选择定则、电偶极跃迁

要考虑一个跃迁是被允许还是禁止，就是计算初态（或者末态）被围绕作用后，和末态（或者初态）的内积是否为零。也就是计算：

$$
\left\langle \psi_\alpha \middle| \hat{H}' \middle| \psi_\beta \right\rangle
$$

这里 $\psi_\alpha$ 和 $\psi_\beta$ 分别属于某个不带微扰的哈密顿量的本征子空间；
  这两个或者一个空间也是原先体系的对称群中的一个表示空间。

#TODO: 算符的对称性是如何定义的？大致上来说，如何计算跃迁概率？

